Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 02. 2017 19:58 — Editoval Marian (20. 02. 2017 20:22)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2404
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Funkce s parametrem

Předpokládám, že pro olympiádní nadšence ze SŠ bude tato úloha zábavná a možná i překvapující. Ochutnejte matematický zákusek...


Je dána funkce $\varphi$ proměnné $z$ předpisem

$
\varphi_n(z)
 :=\sum_{j=1}^{n}\left (\frac{z^j}{j}-{n\choose j}\cdot\frac{(z-1)^j}{j}\right ),\qquad (n,z)\in\mathbb N\times\mathbb R.
$


a) Dokažte, že je tato funkce konstantní vzhledem k proměnné z.
b) Čemu je rovna hodnota $\varphi _n:=\varphi_n(z)$?
c) Speciálně si nakonec napište vztah $\varphi _n(0)=\varphi _n(1)$.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marian)

#2 07. 02. 2017 16:30

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Funkce s parametrem

↑ Marian:
Ahoj, je povoleno derivovat? :-)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#3 08. 02. 2017 04:39

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2404
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Funkce s parametrem

↑ check_drummer:

Vycházím ze své střední školy, takže derivování připouštím. Mohl jsem to připomenout v zadání úlohy.

Offline

 

#4 20. 02. 2017 20:22

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2404
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Funkce s parametrem

Vzhledem k tomu, že žádné nápady nejsou doposud prezentovány, uvedu své řešení využívající derivace funkce

Derivujme danou funkci podle proměnné z:

$
\varphi'_n(z)
 &=\sum_{j=1}^{n}\left (z^{j-1}-{n\choose j}\cdot (z-1)^{j-1}\right )\\[2mm]
 &=\sum_{j=1}^{n}z^{j-1}-\frac{1}{z-1}\cdot\sum_{j=1}^{n}{n\choose j}\cdot (z-1)^j.
$

Dále sečteme první součet jako součet prvních n členů geometrické posloupnosti a druhý součet lze psát v uzavřeném tvaru užitím binomické věty. Dostáváme

$
\varphi'_n(z)
 =\frac{z^n-1}{z-1}-\frac{1}{z-1}\cdot\left ((z-1+1)^n-1\right ).
$

Derivace je nulová, tedy $\varphi _n(z)$ je konstantní.

Dosadíme-li $z=1$, je zřejmé, že $\varphi _n$ je rovno n-tému harmonickému číslu. Dosadíme-li $z=0$, dostáváme z konstantnosti studované funkce a z předchozího dosazení jiné vyjádření harmonického čísla:

$
\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}
 =\sum_{j=1}^{n}{n\choose j}\cdot\frac{(-1)^j}{j}.
$

Dosazením jiných hodnot lze najít další vyjádření harmonického čísla (např. pro z=1/2 apod.).

Závěrem poznamenávám, že harmonická čísla hrají významnou roli při určité formulaci slavné Riemannovy hypotézy, viz část Applications v odkazu výše.

Offline

 

#5 21. 02. 2017 13:43

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Funkce s parametrem

↑ Marian:
Ahoj, to je i mé řešení, ale nechtěl jsem středoškolákům kazit radost. :-)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#6 21. 02. 2017 17:53

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2404
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Funkce s parametrem

↑ check_drummer:

Původní příspěvek jsem editoval a omezil proměnnou $z$ na reálnou. Pro středoškoláky totiž není standardní derivovat funkci komplexní proměnné.

Existuje však elementární postup, který nepoužívá pojem derivace (představil mi jej uživatel Pavel z tohoto fóra). Snad najde čas, aby svůj zajímavý příspěvek uveřejnil.

Offline

 

#7 22. 02. 2017 23:02

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1760
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Funkce s parametrem

Stačí použít identitu
$
{n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}
$
a vhodně upravit předpis funkce $\varphi_n(z)$:

$
\varphi_n(z)
&=\sum_{j=1}^{n}\left (\frac 1j(z-1+1)^j-\frac 1j{n\choose j}(z-1)^j\right )
=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k-\sum_{j=1}^{n}\frac 1j{n\choose j}(z-1)^j\\[\baselineskip]
\varphi_n(z)
&=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k-\sum_{j=1}^{n}\frac 1j{n\choose j}(z-1)^j\\[.5\baselineskip]
&=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k+\sum_{k=0}^{n}\frac 1n{n\choose k}(z-1)^k-\sum_{j=1}^{n}\frac 1j{n\choose j}(z-1)^j\\[.5\baselineskip]
&=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k+\frac 1n+\sum_{j=1}^{n}\left(\frac 1j{n-1\choose j-1}(z-1)^j-\frac 1j{n\choose j}(z-1)^j\right)\\[.5\baselineskip]
&=\frac 1n+\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k-\sum_{j=1}^{n}\frac 1j{n-1\choose j}(z-1)^j\\[.5\baselineskip]
&=\frac 1n+\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{j}\frac 1j{j\choose k}(z-1)^k-\sum_{j=1}^{n-1}\frac 1j{n-1\choose j}(z-1)^j\\[.5\baselineskip]
&=\frac 1n+\varphi_{n-1}(z)
$

Protože $\varphi_0(z)=0$, můžeme psát

$
\varphi_n(z)=\frac 1n+\varphi_{n-1}(z)=\sum_{k=1}^n\frac 1k+\varphi_0(z)=\boldsymbol{\color{blue}\sum_{k=1}^n\frac 1k}
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 23. 02. 2017 11:25

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2404
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA
Reputace:   55 
 

Re: Funkce s parametrem

↑ Pavel:

Elegance v celé své kráse.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson