Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 03. 2017 14:29

liamlim
Příspěvky: 199
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Peanovy axiomy

Ahoj. Přemýšlel jsem nad axiomy Peanovy aritmetiky a rád bych si ujasnil jednu konkrétní věc. Pro pořádek axiomy uvedu:

1) $0\in\mathbb{N}$
2) $n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N}$
3) $(n,m)\in\mathbb{N}^2 \Rightarrow ((m = n) \Leftrightarrow (S(m) = S(n))$
4) $n\in\mathbb{N} \Rightarrow S(n) \ne 0$

pozn.: Axiom indukce schválně vypouštím, což bych rád diskutoval.

a) Z axiomů plyne, že konečným aplikováním operace následníka dostaneme vždy číslo, které je obsaženo ve všech množinách, které vyhovují definici přirozených čísel.
b) Definice přirozených čísel není jednoznačná, přesto však díky (a) máme všechna čísla, která považujeme za přirozená (např 42) ve všech vyhovujících definicích.
c) Proč se bez indukce neobejdeme? Tím chci říct, proč tak trváme na tom, že tvrzení z teorie čísel dokazujeme pro VŠECHNA přirozená čísla? Jak by se situace změnila, pokud bychom namísto $(\forall n)(\varphi(n))$ psali $\neg(\exists n)(\forall m)((m < n) \Rightarrow (\varphi(m) \wedge \neg\varphi(n)))$? Jinými slovy když bychom dokázali, že neexistuje takové číslo, že pro něj tvrzení neplatí a pro všechna menší platí.

Chápu důsledky, které axiom indukce má. Nerozumím už ale jeho nezbytnosti. Indukce slouží v podstatě jen k tomu dokázat tvrzení pro VŠECHNA přirozená čísla. Proč je to potřeba? Nestačilo by dokázat tvrzení pro libovolně mnoho konečně čísel?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) liamlim)

#2 30. 03. 2017 15:52

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Peanovy axiomy

↑ liamlim:
Ahoj, a není to ekvivalentní s axiomem indukce?


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#3 30. 03. 2017 16:31 — Editoval liamlim (30. 03. 2017 16:32)

liamlim
Příspěvky: 199
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Peanovy axiomy

↑ check_drummer:

Na to se právě ptám. Jestli nemůžeme axiom indukce úplně vypustit a místo toho v případě, je-li indukce třeba, dokazovat $\neg(\exists n)(\forall m)((m < n) \Rightarrow (\varphi(m) \wedge \neg\varphi(n)))$.

edit: takové tvrzení podle mě jde dokázat například sporem.

Offline

 

#4 30. 03. 2017 18:21

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Peanovy axiomy

Pozdravujem. 
Mozno nestardantne modely aritmetiky ti ciastocne odpovedia. 
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Non-sta … arithmetic


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 31. 03. 2017 11:11 — Editoval Rumburak (31. 03. 2017 14:15)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8174
Reputace:   478 
 

Re: Peanovy axiomy

↑ liamlim:
Ahoj. Zdravím též kolegu ↑ vanok:  a další diskutující.

Číselných množin, které vyhovují pouze axiomům 1, 2, 3, 4 z Tvého úvodního příspěvku,
je nekonečně mnoho. Položíme-li S(n) = n+1,  pak těmto axiomům vyhovuje v roli
množiny N i množina komplexních čísel, EDIT: z níž vynecháme celá záporná čísla,
a mnohé další její podmnožiny.

Axiom indukce říká, že množina všech přirozených čísel je průnikem všech
takových číselných množin, neboli nejmenší takovou množinou ve smyslu inkluse.
Praktický důsledek: splňuje-li daná číselná množina X s funkci S podmínky 1, 2, 3, 4
a navíc princip indukce, znamená to, že X musí obsahovat množinu všech přiroz. čísel.

Pokud bychom se abstrahovali od pojmu "číslo", potom množin X vyhovujících při vhodné
volbě funkce S axiomům 1, 2, 3, 4, 5 (kde 5 je princip indukce ) je sice rovněž
nekonečně mnoho, avšak všechny tyto stuktury (X, S) jsou aspoň spolu isomorfní.

V tom tkví podstata axiomu indukce.

Zkus hledat hledat pojem "induktivní množina".

Online

 

#6 01. 04. 2017 05:55 — Editoval vanok (01. 04. 2017 06:05)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Peanovy axiomy


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson