Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 04. 2017 22:15

Franta1235
Zelenáč
Příspěvky: 8
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   
 

Nalezení rovinné křivky

Zadání: Nalezněte rovinnou křivku parametrizovanou obloukem, jejíž křivost je 1/s , s>0.

Zkoušel jsem dosadit obecné rovnice do vzorce pro křivost, ale došel jsem k soustavě diferenciálních rovnic, s kterými si nevím rady (ani Wolfram alpha). Nějaká rada jak to řešit?

Offline

 

#2 03. 04. 2017 23:19 — Editoval Bati (03. 04. 2017 23:20)

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Nalezení rovinné křivky

↑ Franta1235:
s je konstanta nebo parametr z parametrizace obloukem? V každém případě bude dobrý převést do polárních souřadnic.

Offline

 

#3 03. 04. 2017 23:21

Franta1235
Zelenáč
Příspěvky: 8
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Nalezení rovinné křivky

↑ Bati: s je parametr z parametrizace obloukem.

Offline

 

#4 03. 04. 2017 23:24

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Nalezení rovinné křivky

↑ Franta1235:
Takže řešíš
$x'^2+y'^2=1$
$x''^2+y''^2=\frac1{s^2}$,
ok?

Offline

 

#5 03. 04. 2017 23:46 — Editoval Franta1235 (04. 04. 2017 00:19)

Franta1235
Zelenáč
Příspěvky: 8
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Nalezení rovinné křivky

Já jsem si křivku definoval jako $c(s)=[f_{1}(s),f_{2}(s),0]$ a vložil do vzorce pro křivost: $k(s)=\frac{\parallel c'(s)×c''(s)\parallel }{\parallel c'(s)\parallel^{3} }       $, a dostal jsem se k těmto rovnicím:$\frac{1}{s}=-f_{2}'f_{1}''+f_{1}'f_{2}''      ,   (f_{1}')^2+(f_{2}')^2=1     $, takže k tamtěm rovnicím jsem se nedostal.

Offline

 

#6 04. 04. 2017 00:15

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Nalezení rovinné křivky

↑ Franta1235:
No to je obecnej vzorec, ale když předpokládáš, že máš parametrizaci obloukem, tak platí $|c'|=1$, $|c'\times c''|=|c'||c''|\sin{\alpha}=|c''|=\kappa$, ne?

Offline

 

#7 04. 04. 2017 00:24

Franta1235
Zelenáč
Příspěvky: 8
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Nalezení rovinné křivky

Jo, tohle platí, díky. Ale stejně nevím, jak vyřešit tyhle už jednodušší rovnice.

Offline

 

#8 04. 04. 2017 00:33 — Editoval Bati (04. 04. 2017 00:37)

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Nalezení rovinné křivky

↑ Franta1235:
1) substituce $a=x'$, $b=y'$
2) první rovnice implikuje $a(s)=\cos\varphi(s)$, $b(s)=\sin\varphi(s)$ pro nějakou funkci $\varphi$, přičemž můžeme předpokládat $\text{sgn}\, \varphi'=1$, viz polární souřadnice.
3) Dosadíš do druhé a vyřešíš.

Pak už je to jenom integrování: nejprve v $\varphi'=\frac1s$, pak $x'=\cos\log(c_1 s)$, $y'=\sin\log(c_1s)$, $c_1>0$, atd.

Pozn.: ty poslední integrály se dají spočítat přes subst. $t=\log(c_1s)$ a pak 2x per partes. Doporučuju řešení psát ve tvaru $x(s)=c_2+\int_{\frac1{c_1}}^{s}\cdots$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson