Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 04. 2017 08:04 — Editoval vanok (09. 04. 2017 14:23)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Osy, pomery

V tomto vlakne osviezime niektore pojmy z rovinnej geometrie, tak aby sme ich mohli vyuzit na riesenie niektorych problemov.
Zacnime pojmom " osa uhlu"
Ak si nacrtnete situacie, tykajuce sa nasledujucych pojmov, iste  text tu nizsie sa vam bude lepsie citat.

Neformalne povedane, uhol dany dvoma polpriamkamy je rozdeleny jeho osou na dva rovnake uhly.   
V trojuholniku ABC, osy jeho uhlov su osy jeho uhlov (ktore prechadzaju cez jeho vnutrom).
Iste si spominate, ze tieto osy prechadzaju jednym bodom = stredom vpisanej kruznice trojuholnika. 
Uloha: dokazte to.
Ak uvazujeme dve nerovnobezne priamky prechadzajuce cez dany bod A, tak konstatujete, ze tieto tvoria 4 uhly polopriamok vrcholu A. A tiez, ze ich osy po dnvoch su sa doplnuju na priamky co prechadzaju cez A.
A tiez ze ine osy su kolme po dvoch.
Dalsia uloha: dokazte posledne tvrdenie.
A este jedna otazka.  Co viete o pripisanych kruzniciach trojuholniku ABC?

Poznamka. Akoze ani v sk ani v cz tieto pojmy nepouzivam, tak ak to chce niekto prepisat do viac pouzivaneho stylu, tak to moze kludne urobit.

Po vyrieseni otazok .... pride pokracovanie.😄


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 10. 04. 2017 06:53 — Editoval vanok (10. 04. 2017 06:57)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Riesenia tych dvoch otazok z #1 su asi velmi zname a nikto sa neodvazi napisat ich dokazy.
Pripisane kruznice sa dotykaju tiez vsetkych troch stran trojuholnika. ( dvak krat mimo trojuholnika a raz z jeho vnutornou stranov )
Ich stred je priesecnik dvoch vonkajsych osi a jednej vnutornej osy uhlov trojuholnika.
Casto sa oznaci stred vpisanej kruznice ako $ I$, a stredy pripisanych kruznic ako $ I_a, I_b,I_c$ podla toho, ze sa dotykaju resp. stran ( vnutornych)  $a,b,c$ trojuholnika.
Iste ste sa s tym stretli. No aspon dufam.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 10. 04. 2017 21:08

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ vanok:

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-04/49628_kru%25C5%25BEnice%2Bvepsan%25C3%25A1%2Bmen%25C5%25A1%25C3%25AD.png

platí, že strany úhlů jsou tečny ke kružnici vepsané - když si vezmeme úhel ACB, tak platí SF = SI a protože SIC i SFC jsou pravé úhly (tečny) $(SI)^{2}+(IC)^{2}=(SF)^{2}+(FC)^{2}$ takže CI = CF. Bod S leží ve stejné vzdálenosti od strany AC i CB - leží tedy na ose úhlu ACB.


Kružnice přisaná je  popsaná např. tady: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/ … ipsana.htm

Offline

 

#4 10. 04. 2017 21:20

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Ano, zatial si si to dobre osviezila. 
Zajtra tak pridam dalsie vlasnosti. 
Nechcem ist priliz rychlo.... ale skor ucinne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 10. 04. 2017 21:21

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

k druhému důkazu:
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-04/51862_osy%2Bvedlej%25C5%25A1%25C3%25ADch%2B%25C3%25BAhl%25C5%25AF.png

vedlejší úhly mají součet 180° - osa přímého úhlu je tedy kolmice - pokud pootočíme tuto kolmici o polovinu DAE získáme osy našich vedlejších úhlů. Ale takhle se asi důkaz nedělá :)

Offline

 

#6 10. 04. 2017 22:30 — Editoval vanok (11. 04. 2017 03:33)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:,
To je skoro dobra myslienka.
Jednoduchsie. 
Najcastejsie sa vyuzije, ze osy uhla ho delia na dve rovnake casti... a to ti umozni urobit rychly dokaz.  (Ak pouzijes tvoj  argument o priamom uhly, a to otocenie netreba.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 11. 04. 2017 09:57

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ vanok:

otocenie netreba

takže stačí, že BDA + DAE = 180° tudíž polovina BDA +  polovina DAE = 90° :)

Offline

 

#8 11. 04. 2017 10:18

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:
Ano, staci zobrat " dobre " polovice.

Ina otazka : Aky je vztah medzi trojuholnikmy $ABC$ a $ I_aI _bI_c$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 11. 04. 2017 15:04

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Pomoc (Doplnujuca otazka).
Co mozeme povedat o vyskach trojuholnika $ I_aI _bI_c$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 11. 04. 2017 23:20

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ vanok:
vrcholy ABC jsou body kde výšky trojúhelníku $I_{a}I_{b}I_{c}$ protínají strany  trojúhleníku $I_{a}I_{b}I_{c}$.

Offline

 

#11 12. 04. 2017 10:30 — Editoval vanok (13. 04. 2017 04:32)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
Ano. To sa da vyjadrit aj, ze sa povie  $ABC$ je orticky trojuholnik trojuholnika $I_{a}I_{b}I_{c}$.
Je vela inych vlasnosti. Ak  to niekoho zaujima, tak ich mozeme rozvinut. 
Ale zatial hovorme o  vlasnostiach, ktore nam pomozu zo studiom o Apollonius-ovej kruznici.

Tak je uzitocne vysetrit metricke vlasnosti os trojuholnika $ABC$.
Presnejsie najdime odpoved na :
Nech v $ABC$  jeho vnutorna osa cez $A$ pretina stranu v bode $D$. Co mozeme povedat o vzdialenostiach $BD$ , $CD$ a $AD$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 12. 04. 2017 22:41 — Editoval akdar (12. 04. 2017 23:47)

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ vanok:
děkuji za nové informace:

orticky trojuholnik

co se týče vztahu AD k DB, tak pokud to mám dobře nakreslené:


tak tam vůbec nic nevidím, žádný vztah a souvislost :(

Offline

 

#13 12. 04. 2017 22:45

misaH
Příspěvky: 8575
 

Re: Osy, pomery

Má byť ortický trojuholník.

Offline

 

#14 12. 04. 2017 23:31

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

↑ misaH:
Dakujem,
Preklep opraveny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 12. 04. 2017 23:37 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:07)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:,
To je nezavisla informacia.... ten orticky trojuholnik.
Ta co sa tyka AD, DB, CD to je ta vlasnost  ( ci skor vlasnosti) co teraz vysetrime.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 12. 04. 2017 23:43

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Hezký večer ↑ vanok:
takže hledáme v úplně obecném trojúhelníku vztah mezi vrcholem a průsečíkem jeho osy a průsečíkem a druhým vrcholem?

Offline

 

#17 13. 04. 2017 05:06 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:09)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Pozdravujem ↑ akdar:,
Teraz dokazeme nieco o tych dlzkach co najprodzenejsiou metodou.
Oznacme ich ( aby sa nam pisali jednoduchsie vstahy co najdeme)
x=BD; y=DC; z=AD ako aj a=BC; b=AC; c=AB.
Dokaz, cize hladane relacii, urobime vo viacerych etapach ( a nieco z toho pouzijeme na Apollonius-ovu kruznicu)
Rovnobezka (r) cez bod B z priamkou (AD), pretina (AC) v bode E.
Teraz trochu pozorujme situaciu popisanej konfiguracie.
( nedalo by sa dokazat, ze trojuholnik BAE je rovnostrany a ze x/y=c/b ? )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 13. 04. 2017 11:59 — Editoval vanok (15. 04. 2017 03:42)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Pokracovanie. 
Ak ste si urobili nacrt, iste vam to pomohlo nast hladane dokazy. 

Trojuholnik BAE je rovnoramenny.
Dokaze sa to vdaka vlasnostiam uhlov (presnejsie vdaka vlasnostiam suhlasnych a striedavych 
Preto mame EA= AB=c .

A vdaka popisanej konstrukcii
trojuholniky ACD a ECB su podobne
A tak lahko dokazeme, ze
$\frac xy= \frac cb$ (*).

Posledna rovnost nam bude uzitocna,  v praci s Apoll. kruznicou.

Ale mozme dokazat aj slubene vyrazy pre x, y.

Na to pouzijeme vlasnosti zlomkov a (*).
Co nam da $\frac xc =\frac yb=\frac {x+y}{b+c}=\frac a{b+c}$
A na koniec $x=\frac {ac}{b+c}$ a tiez $y=\frac {ab}{b+ c}$

Poznamka: najdeny vysledok v urobenom dokaze nie je  pre nas uzitocny,( i ked pochopitelne vseobecne plati) ak trojuholnik BAC je rovnoramenny v A , preco?
(Edit. Upresnena poznamka)

Poslednu rovnost pre dlzku vnutornej osy trojuholnika ABC cez vrchol A z, vypocitame po malej pomocnej priprave.

No najprv pre istotu nacrtnite popisany situaciu a
male cvicenie 
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).

Jazykova poznamka: osa uhlu = bissectrice (fr.)= bisector(angl.)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 14. 04. 2017 00:02

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Hezký večer ↑ vanok:

Trojuholnik BAE je rovnoramenny.

důkaz:
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-04/20212_vlastnosti%2Bobec.%2Btroj%25C3%25BAhel.%2Bd%25C5%25AFkaz.png
a protože osa BAC půlí na dva shodné úhly, platí úhel 1 = úhel 2 $\Rightarrow $ úhly při B a E jsou shodné a tudíž EAB je rovnoramenný.

male cvicenie
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-04/20570_ukol%2Babc%2B-%2Bvelikost%2Bstran.png
BD = a.c/(b+c) = 35/13, DC = a.b/(b+c) = 30/13, CE = 30/12, EA= 42/12, AF=42/11, FB =35/11

Offline

 

#20 14. 04. 2017 06:21 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:49)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Pozdravujem ↑ akdar:,
Pripominam, ze  na urcenie dlzky $z$ budeme stale pouzivat oznacenia ako v #17.
Tu nam pomoze nacrt trojuholnika ABC z jeho opisanou kruznicou (k) a ze vnutorna osa (AD) trojuholnika vrcholu A, pretina (k) aj v druhom bode ktory oznacime K.
( Nas prvy ciel je dokazat, ze $ bc=xy+z^2$ (**) .... co by sme mohli pouzit?... myslienky, navrhy.....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#21 14. 04. 2017 18:49 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:53)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Mozny postup.
Dokazte najprv :
Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne.
(Klucove myslienky: obvodove uhly, striedave uhly ... a ze AK=AD+DK)
A vyuzite to na dokaz relacie
$AB.A C=AD^2+BD.CD$, co je (**)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#22 14. 04. 2017 20:22 — Editoval akdar (14. 04. 2017 20:24)

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Zdravím ↑ vanok:
můžu se zeptat na poznámku z #18

Poznamka: urobeny dokaz neplati pre rovnostranny trojuholnik ABC, preco? A co vtedy?

Proč to neplatí?

a není v #21 překlep

Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne

nemá být: Trojúhelníky ADB, ADC a CDK jsou podobné?
Zatím aspoň obrázek:



A přeji všem krásné velikonoční svátky :-)

Offline

 

#23 14. 04. 2017 21:30 — Editoval vanok (15. 04. 2017 07:43)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Pozdravujem ↑ akdar: a tiez radostnu Velku Noc,
Co sa tyka pripadu, ked BAC rovnoramenny, som sa trochu spatne  vyjadril, prepac. ( Dakujem za upozornenie ↑ akdar: v predoslom prispevku... upresnil som to aj v #18)
Ten vysledok  nie je pre nas, uzitocny, lebo vtedy Apollonious-ova kruznica, prechadzajuca cez bod A, a aj cez bod  D  a zaroven MB/MC=1 neexistuje (lebo  v tom pripade, posledna  relacia popisuje osu usecky BC).

Podobnost trojuholnikov ADB a ACK sa moze ukazat, tak ze sa dokaze, ze maju dva zodpovedajuce uhly rovnake.
( 1.Uhol vo vrchole A je identicky v oboch trojuholnikoch, lebo AD je osa uhlu v A trojuholnika BAC;
2. A ich uhly v B a K su dva rovnake ako obvodove uhly.... )
To nam da rovnost,$\frac {AB}{AK}=\frac{AD}{AC}$
Co da $AB.AC=AD.AK=AD(AD+DK)=AD^2+AD.DK$.(***)
No vsak aj ADB a CDK su podobne ..... a preto $\frac {AD}{CD}=\frac{BD}{KD}$
a to da $AD.KD=BD.CD$.
Pouzime to v (***) a dostaneme .... co sa pise este ....

(...... treba doplnit)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 16. 04. 2017 13:54

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Osy, pomery

Dufam, ze kazdy sa dostal k relacii (**) z #20.
Pochopitelne dosadenim za x,y ako v #18 dostaneme vyraz pre z, ktory zavisi len od stran a,b,c. ( necham vam tu radost sa z tym pohrat 😄)

Pre zaujimavost, ak vyjadrime plochu trojuholnika ABC dvoma sposobmi, tak mozeme ukazat, ze z je zavisle od b,c a $ \cos (\frac {\alpha }2)$ ( kde $\alpha$ je uhol vo vrchole A trojuholnika ABC).
Skuste to urobit.

[Zda sa mi, co sa tyka tohto vlakna, zatial som tu nic ine nenapisal ako to co kazdy stredoskolak dobre vie. Alebo sa mylim?.  Poucte ma!
Teraz uvediem pojem dvojpomeru (Ak sa pouziva  po sk, cz ine meno, rad sa prisposobim) .... a to, ako sa zda, dnes uz neuci na SS 😂, i ked to nie je nieco komplikovane]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 17. 04. 2017 22:08

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Zdravím ↑ vanok:
k relaci (**) z #20 jsem se dostala.
Ještě zkusím tu plochu :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson