Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 16. 05. 2017 10:44

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

↑↑ akdar:,
Schematicky povedane.
V afinnej geometrii sa konzervuje pomer ( tam je treba rovnobeznost).
V projektivnej geometrii sa konzervuje dvojpomer. ( ako je to v situaciach vo zväzkoch..)
😄


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#52 16. 05. 2017 14:42 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:04)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Akdar,
Mala pomoc na dokaz a oznacenia.
Uvazujme zväzok (O, ABCD) 4roch lucov.
( zväzok vrcholu O, ktore ma jednu priecku = priamku, na ktorej su body A,B,C,D).
Uvazujme dalsiu (lubovolnu) priecku zväzku ktora urci body A', B', C', D' na lucoch zväzku.
Dokazme, ze (ABCD)=(A'B'C'D'),
Preto narysujme rovnobezky cez C a C' z lucom OD =OD' ( lebo D a D' su na tom istom luci zväzku)
Prva rovnobezka urci na lucoch OA=OA' a OB=OB' body M a N ; a druha urci body M' a N'.
Ako by si to vyuzila? (Mysli na prvu vlasnost)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#53 16. 05. 2017 21:33 — Editoval akdar (18. 05. 2017 22:48)

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ vanok:
tady je obrázek k Tvému popisu:



ale z toho jsem to neviděla, musela jsem to překreslit podobně jak jsme to měli (rovnoběžky s OA):

Potom vychází, že  $(ABCD)=\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}=\frac{\frac{\overline{AO}}{\overline{MB}}}{\frac{\overline{AO}}{\overline{NB}}}=\frac{\overline{NB}}{\overline{MB}}  $ obdobně $(A1B1C1D1) =\frac{\overline{N1B1}}{\overline{M1B1}}  $
Z podobnosti plyne (aspoň doufám :-) ): $\frac{\overline{BO}}{\overline{B1O}} =\frac{\overline{MB}}{\overline{M1B1}}=\frac{\overline{NB}}{\overline{N1B1}}  \Rightarrow \frac{\overline{NB}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{N1B1}}{\overline{M1B1}}$
$\Rightarrow (ABCD) = (A1B1C1D1)$
Stačí to jako důkaz?

Offline

 

#54 16. 05. 2017 23:52 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:05)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:,
V mojom zapise vdaka  prvej vlasnosti mame
$(ABCD)=\frac {\overline {CM}}{\overline {CN}}$ a tiez
$(A'B'C'D')=\frac {\overline {C'M'}}{\overline {C'N'}}$
Akoze $MNC, M'N'C$' su na dvoch rovnobezkach ktore v tych bodoch pretinaju zväzok $(O, ABC) $, mame
$\frac {\overline {CM}}{\overline {CN}}=\frac {\overline {C'M'}}{\overline {C'N'}}$
Co da $(ABCD)=(A'B'C'D')$.

Poznamka. Ty si vyuzila ine rovnobezky co ti da  iny mozny dokaz... Pozor, nezabudaj, ze ide o algebricke vzdialenosti, co sa znaci ciarami nad dvojicami bodov, ako napr $ \overline {CM}$ .... v laTexe sa to pise \overline {..}


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#55 18. 05. 2017 10:52

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
Teraz sa mozme chvilku venovat specialnemu pripadu dvojpomeru ked je rovny -1.
Povieme, ze ak (ABCD)=-1, ze ide o harmonicku stvoricu (ABCD) a ze body A a B, ako aj C a D su konjugovane.
Tiez vtedy pouzijeme aj vyraz harmonicky pomer.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#56 18. 05. 2017 22:43

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ vanok:,
mohl by jsi mi, prosím, rozpsat $(ABCD)= \frac{\overline{CM}}{\overline{CN}}$
Čáru nad dvojicí bodů označujeme tedy vektor - jde nám nejen o velikost ale i směr :-) Opravím. Děkuji za nápovědu v TeX.

Offline

 

#57 18. 05. 2017 23:21 — Editoval vanok (19. 05. 2017 01:26)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:
Dobry vecer,
Len mala poznamka.
Zapis AB alebo |AB| je dlzka AB,
$\overline {AB}=b-a$, je realne cislo.(algebricka dlzka)
O vektoroch sa v tej dobe nehovorilo ( dnes by sme mohli povedat, ze ide o vektory jednorozmerneho priestoru... ), no nam postaci vediet, ze mame nastroj ktory nam umoznuje uvazovat orientaciu useciek.


Prve cvicenie.
Ak (ABCD) je harmonicka stvorica. Najdite vsetkych 8 harmonickych stvoric vytvorenych bodmi A, B, C a D.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#58 20. 05. 2017 11:37

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Prve cvicenie.
Ak (ABCD)=-1,tak aj (BACD) je harmonicka stvorica, lebo ....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#59 20. 05. 2017 20:48

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Hezký večer ↑ vanok:
využiji rovnosti z #38  a tedy platí: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA), pokud tedy (ABCD) = -1 je to první harmonická čtveřice, druhá bude pro 1/p = -1 tudíž:(ABDC) = (BACD) = (CDBA) = (DCAB)
:-)

Offline

 

#60 20. 05. 2017 21:37

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#61 21. 05. 2017 19:05 — Editoval vanok (21. 05. 2017 19:06)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Cize posledna vlasnost znamena, ze ak vymenime v konjugovane body alebo aj konjugovane dvojice harmonicka stvorica ostane harmonicka.
Naviac
$(ABCD)=\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}=-1  $
Nam da, ze
$\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}+\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=0$.

Ako sa to napise pomocou suradnic a,b,c,d?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#62 21. 05. 2017 23:05

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Offline

 

#63 22. 05. 2017 00:30 — Editoval vanok (22. 05. 2017 04:14)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

↑ akdar:
Ano.
$ \frac{a-c}{b-c} + \frac{a-d}{b-d}=0$

Co da $2(ab+cd)=(a+b)(c+d)$ (1)

Ak vybereme A ako pociatok, $\frac 2b=\frac 1c+\frac 1d$ (2)
Co sa pise aj  ako $\frac 2 {\overline {AB}} =\frac 1 {\overline {AC}}+\frac 1 {\overline {AD}}.$
Vyber pociatku v bode I prostriedku usecky AB, da $a=- b$ a z (1) dostaneme $2(-b^2+cd)=0$,
A po uprave
$cd=b^2$ co sa pise aj $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IA}^2=\overline {IB}^2$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#64 24. 05. 2017 10:53

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
Iste si si vsimla, ze posledny vyraz $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IA}^2=\overline {IB}^2$, nam umoznuje jednoducho "objavit" vlasnosti harmonickych stvoric.

A) Sucin $\overline {IC}.\overline {ID}$ je pozitivny, tak body C,D su umestneme na tej istej strane od bodu I ( = prostriedok usecky AB)
B) $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IB}^2$, da ze ak $ IC>ID$ tak $ID<IB$.
Cize z bodov C,D jeden je vo vnutri usecky AB a druhy je mimo nej
.

Atd....( dobre by to bolo pozorovat napr. na geogebre, no si to aspon nakreslit, moze byt poucne )

Podobne aj pre zväzky mozme definovat tiez harmonicky zväzok...
Preto sa sustredime na chviku na vlasnosti takeho zväzku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#65 25. 05. 2017 23:49

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Zdravím ↑ vanok:
popravdě takhle upravovat a hledat vlastnosti mě nenapadlo. Zítra to dám do geogebry, tam se dá dobře hýbat s body :-)

Offline

 

#66 26. 05. 2017 00:48

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
Vcelku dobre napredujeme. Na buduci tyzden nedudem mat internet. No len co budem ho mat, pochopitelne budeme pokracovat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#67 26. 05. 2017 08:04

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ vanok:
budu se těšit. Hezký týden :-)

Offline

 

#68 10. 06. 2017 23:17

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
Ako definujeme harmonicky zväzok?

je to zväzok 4roch polopriamok v ktorom lubovolna priecka urci harmonicku stvoricu

Teraz mozme skusit nast nejake zaujimave vlasnosti takeho zväzku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#69 16. 06. 2017 00:36

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Nutna a postatujuca podmienka aby jeden zväzok 4roch polopriamok ( lucov) spolocneho pociatku  bol harmonicky je aby jedna rovnobezka z jednym jeho lucov bola rozdelena na dve rovnake usecky tromi inymi lucmi.

Dokaz tykajuci sa vsebecne dvojpomerov nam da dokaz aj tejto vlasnosti.

( obrazok moze byt uzitocny)


(Jednoducho)  dostaneme tieto dve vlasnosti :
1) V trojujolniku ABC taznica AM a rovnobezka AM' so stranou BC cez bod A tvoria harmonicky zväzok so stanami AB a AC.
2) Vnutorna osa daneho uhlu a jeho vonkajsia osa tvoria zo stranami uhla harmonicky zväzok.

Na pokracovanie...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#70 16. 06. 2017 22:38 — Editoval akdar (16. 06. 2017 22:40)

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ Zdravím vanok:
pokud jsem to dobře pochopila, tak tohle (polopřímky l, h, k, i) bude harmonický svazek (polopřímka k je osa AB):



K vlastnostem:
k 1:
teď vidím, že je to to samé co ten první :-)
k 2:
A zase to samé :-)

Kdo na tohle přišel :-D

PS: Obrázky v mém případě nejsou užitečné, ale nutné :-)

Offline

 

#71 19. 06. 2017 12:22 — Editoval vanok (21. 06. 2017 15:38)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Ahoj ↑ akdar:,
To by bola skoda sa zastavit na tak dobrej ceste, preto budeme este trochu pokracovat ako aj teoriu a doplnime si to potom aj nejakymi cviceniami.

Teraz vymyslim dalsi pojem  ( ktore iste uz ma nejake pomenovanie, no iste ma niekto pouci):
Kazdy (iste) vie co je stvoruholnok, a vie, ze  to slovo ma jednu cast ="koren" vyjadrenu slovom  "uhol" a to je v nom dolezita cast.
Tak podobne budem hovorit o "stvorstraniku", a tak definujem kompletny stvorstranik (=quadrilatère complet) utvar ktory je vytvoreny 4 priamkami ktore sa po dvoch pretinaju.( presnesie ziadne z nich nie su rovnobezne a ani ziadne tri neprechadzaju spolocnym bodov ).
Pozri tu prvy obrazok https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quadril … re_complet
Tak napriklad kompletny stvorstranik ABCDEF ma 6 vrcholov
3 diagonaly AC, BD, EF ...
A teraz jedna (pekna) teorema.
V lubovolom kompletnom stvorstraniku kazda diagonala je harmonicky rozdelena druhymi dvomi
Co si myslis o dokaze?
( v odkaze co som dal vyssie su dva, ale na priklad, mozeme pouzit aj Ceva-ovu teoremu ... a tu poznas? alebo bude ju treba dokazat?)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#72 22. 06. 2017 18:00 — Editoval vanok (22. 06. 2017 18:02)

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery

Doplnok.
Ceva-ova teorema.
Menelaus-ova teorema
Desargues-ova teorema.
Su to tri ( pekne) teoremy, a ak sa uz teraz neucia na strednych skolach je uzitocne si ich pripomenut napr. vdaka webu.
Alebo treba ich tu podrobne pripomenut aj z dokazmi?

Co sa tyka dalsych teorem na temu kompletnych stvorstranikov, ako Newton-ova alebo Miquel-ova tie sa najdu aj v odkaze v #71, no ak je zaujem tak ich mozeme tu dokazat ako aj teoremu z #71.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#73 23. 06. 2017 00:00

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ Ahoj vanok:
tak ten důkaz jsem ještě nepobrala :-) ale ještě to zkusím
ty teorémy neznám, hledala jsem je na netu, ale tu Cevaovu jsem v zatím moc nenašla.
A dnes už to nedám :-(

Offline

 

#74 23. 06. 2017 08:13

vanok
Příspěvky: 12125
Reputace:   694 
 

Re: Osy, pomery


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#75 24. 06. 2017 23:26

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Osy, pomery

↑ Ahoj vanok:
můžu se zeptat, kde se tyto teoremy využívají? Ke konstrukci, nebo k důkazům?  Nevidím za tím ten smysl - $ \frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} = 1 $ - součin tří useček děleno součinem jiných tří úseček mi dá 1, nevidím v tom význam, mohl bys mi to prosím přiblížit.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson