Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 22. 05. 2017 17:16 — Editoval Eratosthenes (22. 05. 2017 17:43)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑↑ check_drummer:

Za prvé se vůbec nebavíme o tom, zda tvrzení a=b; $a\neq b$ pro neexistující a, b platí nebo neplatí. Bavíme se o tom, zda zápisy a=b; $a\neq b$ pro neexistující a, b mají smysl. A to je úplně a naprosto něco jiného.

Za druhé - vycházím z implikací

$(a=a+1) \wedge (b=b-2) \Rightarrow (a\neq b)$

$(a=a+1) \wedge (b=b-2) \Rightarrow (a = b)$

Ty implikace jsou pravdivé, takže jejich atomické výroky $a\neq b$ ; $a = b$ určitě mají smysl.

A ptám se: existují taková a, b, aby platilo a=a+1; b=b-2?

Samozřejmě že ne.

A je to - a, b neexistují a zápisy  $a\neq b$ ; $a = b$ mají smysl.

$\lim_{x\to 0}\frac {x^2+2x-1} {2x^3+4x^2-2x}=\lim_{x\to 0}\frac {x^2+2x-1} {2x(x^2+2x-1)}=\lim_{x\to 0}\frac {1} {2x}$

Ani jedna limita neexistuje a takových zápisů rovností limit, které neexistují, jsou plné učebnice.

Označ

$\lim_{x\to 0}\frac {x^2+2x-1} {2x^3+4x^2-2x}= a$
$\lim_{x\to 0}\frac {x^2+2x-1} {2x(x^2+2x-1)}= b$
$\lim_{x\to 0}\frac {1} {2x}=c$

a, b, c neexistují, ale zápis a=b=c má smysl.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#27 22. 05. 2017 19:29

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

Eratosthenes napsal(a):

Za prvé se vůbec nebavíme o tom, zda tvrzení a=b; $a\neq b$ pro neexistující a, b platí nebo neplatí. Bavíme se o tom, zda zápisy a=b; $a\neq b$ pro neexistující a, b mají smysl.

To právě ne, podle mě tazatel Cynic se v prvním příspěvku ptá, jak je to s platností toho výroku $a \neq b$ pro a,b která neexistují (nemají smysl). Ale ať mě případně opraví.
Jemu asi nejde jen o to, zda ten výrok má smysl, k čemu by mu to bylo? Jeho motivace je dle mého jeho platnost.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#28 23. 05. 2017 08:23

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

Jak známo opět z elementární logiky, pro neexistující objekty může platit cokoliv. Takže pokud a,b neexistují, platí jak  a=b, tak a<>b. Jak a=a, tak a<>a.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#29 23. 05. 2017 15:22

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
A jak definuješ neexistující objekt?


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#30 23. 05. 2017 16:50

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8174
Reputace:   478 
 

Re: Ujasnění

Zdravím v diskusi.  Já to vidím takto:

Nechť $A(x)$ je formule s volnou proměnnou $x$.  To znamená, že když do ní za $x$
dosadíme nějakou konkretní konstantu $h$ ,  nastane právě jeden z následujících "stavů":

1.  Vznikne smysluplný výrok $A(h)$ ,  který bude pravdivý a jehož negací bude
     nepravdivý výrok $\neg A(h)$,

2.  Vznikne smysluplný výrok $A(h)$ ,  který bude nepravdivý a jehož negací bude
     pravdivý výrok $\neg A(h)$,

3.  Vzniklý tvar $A(h)$ nebude smysluplným výrokem (krátce řečeno: nebude výrokem),
    a tudíž nebude výrokem ani tvar  $\neg A(h)$.

Online

 

#31 23. 05. 2017 17:24

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

například $a\in \mathbb{R}; a = a+1$

nebo

$a\in \mathbb{Q}; a^2 = 2$

nebo

$a\in \mathbb{N}; a = 2-5$

$a=\lim_{x\to 0} \frac 1 x$

Možností je nekonečně mnoho


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#32 23. 05. 2017 17:33

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ Rumburak:

...jasně

A my se tady bavíme jenom o 1. a 2. S tím, že tvrdím:

Je-li A => B  smysluplný výrok, jsou i A; B smysluplné výroky. A to my asi sotva někdo vyvrátí :-)

Takže tvrdím

$a=a+1 \Rightarrow a\neq a$

je smysluplný výrok (dokonce pravdivý), takže i $a\neq a$ je smysluplný výrok, i když a neexistuje.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#33 23. 05. 2017 22:09

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Takže si dáme trošku hlubši úvahy z logiky:

1) Já jsem se ptal na definici nikoli na příklady, ale asi by šlo ten pojem "neexistujícího prvku" nějak rozumně definovat. Jen by to byl asi metapojem a nikoli pojem, protože by v sobě nejspíš obsahoval spojení "existuje výrok ...". Ale to je celkem podružné.

2) (podstatný bod) Ty jsi ale nedokázal, že $a \neq a$ (ani jsi nedokázal Goldbachovu domněnku, pokud bychom ji položili místo $a \neq a$), dokázal jsi pouze platnost implikace $"nepravda" \Rightarrow (a \neq a)$. Abychom pochopili ten rozdíl, zkoumejme jak vypadají matematická tvrzení: Tvrzení říká, že platí nějaký výrok B za předpokladu A. Tedy chceme dokázat B (to je náš cíl) a můžeme k tomu využít platnost výroku A (předpoklad). Zpravidla se to provádí tak, že dokážeme implikaci $A \Rightarrow B$ a pak díky tomu, že A platí odvodíme na základě pravidel logiky (jde o tzv. pravidlo modus ponens), že platí B. Podstatným krokem je důkaz oné implikace, ale konečným cílem není dokázat tu implikaci, ale B. Je to drobná nuance a při méně formálních důkazech není ani zřejmá, protože tyto důkazy probíhají tak, že "vyjdeme od platného tvrzení A a logickými důsledky dospějeme k B". Ale např. v našem případě, kdy A je nepravdivé tvrzení, je ten rozdíl zcela fatální. Únikem z toho je definovat tu neexistenci nějak pozitivně - jako nějaké platné tvrzení - např. jako, že "pro všechna x neplatí T". Z takové definice se nám ovšem vytvrátí onen "prvek" (to ale souvisí s dalším bodem).
Poznámka: Pokud Ti to zdůvodnění s implikací nepřijde správné, tak ale trvám na tom, že je nutné danou vlastnost definovat nějak pozitivně, tj. jako nějaké tvrzení, které předpokládáme, že platí, pokud je daná vlastnost splněna.

3) Původní záměr tohoto vlákna se týkal konkrétních výrazů, o kterých chceme prohlásit, zda se (něčemu) rovnají nebo ne, tak definujme existenci nebo neexistenci takových výrazů. Např. si myslím, že by bylo možné definovat, že výraz v (to je právě nějaká konkrétní limita, apod.) existuje, právě když "existuje r takové, že r=v" (případně můžeme specifikovat i množinu, ze které r pochází, např. reálná čísla). A pak můžeme definovat, že v neexistuje právě když non(v existuje). A pomocí této ("pozitivní") definice již lze odvozovat další tvrzení týkající se výrazu v.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#34 24. 05. 2017 11:00 — Editoval jarrro (24. 05. 2017 11:10)

jarrro
Příspěvky: 4754
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:Ahoj čo vravíš na definíciu:"Povieme, že objekt $a$ neexistuje práve vtedy keď $\(\forall b\)\(a\in b\Rightarrow b=\emptyset\)$" ?
Je to meta pojem? (Neviem. Naozaj sa pýtam)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#35 24. 05. 2017 15:57 — Editoval Rumburak (24. 05. 2017 15:59)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8174
Reputace:   478 
 

Re: Ujasnění

↑ jarrro:

Ahoj.

To je vtipný příklad.

Domnívám se, že dokud neexistuje konkretní definice (či jiná dohoda), co je to (objekt) $a$,
je symbol $a$ pouze proměnná a připadá mi, že dělat nad ní nějaké úvahy o existenci nemá
smysl.

Ale fundovaným logikem nejsem.

Online

 

#36 24. 05. 2017 16:15

jarrro
Příspěvky: 4754
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: Ujasnění

↑ Rumburak:Ahoj napríklad vo všeobecnej teórii množin je všetko trieda teda
"Povieme, že trieda $a$ neexistuje práve vtedy, keď platí $\(\forall b\)\(a\in b \Rightarrow b=\emptyset\)$
Skôr by ma zaujímalo či taká formula nie je v spore s nejakou axiómou teórie tried resp. mimo logiky ako takej


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#37 24. 05. 2017 19:12

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Rumburak:
Ahoj, no ona je to pouze proměnná - ale s tím, že pro ni platí ta formule. Tím je dáno co to je. Ono obecně nemáš ani v teorii množin definováno co konkrétně je to množina - jen, že splňuje jisté axiomy.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#38 24. 05. 2017 19:14

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ jarrro:
Ahoj, definice je to zajímavá. Já jsem se chtěl zaměřit na ty "konkrétní neexistující objekty", jako např. ty limity, apod. Jinak to podle mě není meta-pojem protože je to definováno pomocí standardní formule logiky (prvního řádu).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#39 24. 05. 2017 22:13

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

>> A jak definuješ neexistující objekt?

Existující ani neexistující objekt nelze definovat. To, že nějaký objekt existuje nebo neexistuje je věta, která se nedefinuje, ale dokazuje, anebo vyvrací.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#40 24. 05. 2017 22:15

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

>> Ty jsi ale nedokázal, že $a \neq a$

Ale já jsem to nedokazoval. Tady vůbec nejde o to, zda je to pravda nebo nepravda. Už jsem to jednou říkal zde:
↑ Eratosthenes:


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#41 25. 05. 2017 00:26

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Je potřeba definovat, co to znamená, že má nějaký výraz smysl.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#42 25. 05. 2017 17:27

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

ale to definováno přece je. V každé teorii má smysl každá gramaticky správná formule. A co je to GSF je definováno vždy hned jako druhý bod hned za abecedou.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#43 25. 05. 2017 20:05

jarrro
Příspěvky: 4754
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: Ujasnění

Vlastne som si až teraz uvedomil, že definíciu ↑ jarrro: splňujú všetky vlastné triedy teda to asi nie je to čo chceme.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#44 26. 05. 2017 10:24

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8174
Reputace:   478 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

Ahoj.

Pokud je v TM někde řečeno, že libovolná proměnná představuje vždy nějakou
(byť i blíže neurčenou) třídu a tedy nikoliv židli, na které právě sedím :-), pak
samozřejmě ano.

Online

 

#45 26. 05. 2017 15:52

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
k čemu pak Tvůj "složitý" důkaz? Měl jsi proměnnou $a$ a pro ni je $a=a$ gramaticky správná formule a tudíž dle definice má smysl.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#46 26. 05. 2017 15:54

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ jarrro:
Ale proměnné neoznačují vlastní třídy, jen "řádné" množiny.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#47 27. 05. 2017 11:59

jarrro
Příspěvky: 4754
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:čiže platí
$\(\forall a\)\(\exists b\)\(a\in b\)$
?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#48 27. 05. 2017 12:28

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ jarrro:
Já bych řekl, že ano - možná z axiomu dvojice, k množině a existuje množina b tvaru {a,a} (nebo třeba {a,0}), tj. dvojice - to je ten axiom dvojice. no a je vidět, že b splňuje Tvé tvrzení.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#49 27. 05. 2017 12:30

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Ještě mě napadlo, že z Tvé arumentace by plynulo, že "a=a+1 => a je pěkně vybarvená proměnná" a tedy že "a je pěkně vybarvená proměnná" má smysl. (Nebo chceme-li používat jen konkrétní symboly jazyka, tak třeba volme výrok "a=====a".)


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#50 27. 05. 2017 19:13

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

ani

"a je pěkně vybarvená proměnná"

ani

"a=====a"

nejsou gramaticky správné formule, takže smysl nemají.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson