Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 28. 05. 2017 14:25

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑↑ Eratosthenes:
Přesně tak, takže to, že "a=a" má smysl není kvůli tomu, že je součástí gramaticky správné formule "a=a+1 => a=a", jak jsi uváděl, ale díky tomu, že je to gramaticky správná formule. Abys totiž mohl říci, že je implikace gramaticky správná formule, tak musí být její předpoklady a závěry gramaticky správné formule.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#52 29. 05. 2017 09:27 — Editoval Rumburak (29. 05. 2017 09:28)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: Ujasnění

↑↑ check_drummer:

Ahoj.

>>> Ale proměnné neoznačují vlastní třídy, jen "řádné" množiny.

To závisí na teorii.  Např. v Goedel-Bernaysově TM (která je co do výsledků ekvivalentní
Zermelo -Fraenkelově) je elementárním pojmem"třída" a s proměnnými pro třídy
(včetně vlastních tříd) se běžně pracuje. Např. definice množiny tam zní:

"Třída $X$ je množinou, právě když existuje třída $Y$ taková, že $X\in Y$. "

Formálně :   $M(X)  \Leftrightarrow  (\exists Y) (X \in Y)$ ,  kde $M(X)$ je predikát
"třída $X$ je množinou".

Offline

 

#53 01. 06. 2017 11:07

bedrnik
Příspěvky: 53
Reputace:   
 

Re: Ujasnění

Ahoj, výraz $\neq$ chápu jako negaci $=$.

Dále si myslím, že pokud nějaký výraz neexistuje, tak by jej v prvé řadě člověk neměl vůbec psát. Tj. např. než napíšu $\lim_{x \to \infty} f(x)$, tak bych měl nejprve vyšetřit chování funkce $f$ a dokázat, že uvedená limita existuje.

Z mého pohledu je tedy zápis typu $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$ nesprávný ne proto, že by $\neq$ nebyla negace $=$, ale proto, že již podvýraz $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ je nesprávný a IMHO nemá v pečlivě napsaném textu co dělat.

Offline

 

#54 01. 06. 2017 21:53

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ bedrnik:

Ok, zeptám se takto: Je zápis

$
\lim_{x\to 0}  \left[  \frac 1 x\cdot  \left (  arctg \frac{\frac 1 x +1} {\frac 1 x +2} -\frac {\pi} 4 \right) \right]

$

správný, anebo nesprávný? A jak t budeš zjišťovat?


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#55 02. 06. 2017 18:47

bedrnik
Příspěvky: 53
Reputace:   
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:

Pokud správně počítám (pomocí Taylorova rozvoje), platí $\lim_{x\to 0}  \left[  \frac 1 x\cdot  \left (  arctg \frac{\frac 1 x +1} {\frac 1 x +2} -\frac {\pi} 4 \right) \right] = -\frac{1}{2}$, takže proti uvedenému výrazu nic nemám :-)

Nicméně bych rád korigoval svůj předchozí příspěvek ↑ bedrnik:, kde jsem psal, že výraz typu $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ je nesprávný a v žádném případě nemá v matematickém textu co dělat. To je příliš silné tvrzení, např. nevidím nic špatného na větě: "$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ neexistuje."

Přesto však trvám na tom, že výrazy typu $a = b$ nebo $a \neq b$ jsou matoucí, pokud $a$ nebo $b$ není dobře definovaný matematický objekt.

Takže je podle mě správně napsat např.: "Pokud $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ existuje, pak $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$." Na druhou stranu bych nepsal rovnou $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$ bez dalšího vysvětlení, protože hrozí, že si to čtenář vyloží tak, že uvedená limita existuje (a nerovná se 1).

Offline

 

#56 02. 06. 2017 20:31 — Editoval check_drummer (04. 06. 2017 00:18)

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Ahoj,¨jak jsem psal někde výše - jsou asi dvě možnosti jak z toho ven:
1) Za správný považujeme jen takový zápis, kdy daný výraz existuje (tj. je roven nějakému konkrétnímu prvku ze zkoumaného oboru, např. z reálných čísel).
2) Za správný považujeme každý syntakticky správný zápis - byť definuje neexistující objekt (např. neexistující limitu, apod.)
Otázka je, co je lepší (správnější) - asi je nutné snést nějaké důvody pro a proti k jednotlivým bodům.

Druhá otázka - jak to zjistit? (Týká se to bodu 1.) To se dá provést šalamounsky - nebudu nic zjišťovat - prostě definuju výraz v (to je např. ta limita) za správný, pokud je dokazatelné, že "existuje reálné číslo r takové, že r=v". Ale to, zda důkaz předchozího tvrzení je znám nebo ne, to neřeším - z matematického hlediska je to dobře definovaný pojem, řekl bych, že i smysluplný, z "konstruktivního" a "praktického" již méně, ale to matematika primárně zas tolik "nezajímá".

Edit: Provedl jsem drobná upřesnění a korekce.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#57 03. 06. 2017 01:45

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Rumburak:
Ahoj. Děkuji za upozornění, měl jsem na mysli ZF. Ale jak píšeš, lze obě teorie na sebe "převést". Jestli to tedy chápu správně, tak i na třídu jsou kladena jistá omezení - např. si myslím, že neexistuje třída, která je prvkem sama sebe, že?
A z té definice se mi zdá, že vlastní třídy (na rozdíl od množin) netvoří hierarchickou strukturu, tj. že vlstní třída nemůže být prvkem jiné třídy (ať už vlastní nebo nevlastní).


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#58 03. 06. 2017 14:32 — Editoval Eratosthenes (03. 06. 2017 15:35)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ bedrnik:

no - počítáš špatně, ta limita neexistuje. A v tom je právě jádro pudla - právě se tady oba dva bavíme docela smysluplně o neexistujícím (podle tebe tedy nesmyslném) čísle. Aniž bys věděl, zda limita existuje, anebo ne, musíš ji vzít a začít s ní počítat. Bez výpočtu té limity totiž není jak zjistit, že neexistuje. Sám jsi teď vzal neexistující číslo (podle tebe "nesmyslný výraz") a musels s tím počítat.

Takže výraz

$\lim f(x) = \lim g(x)$

smysl určitě má, i když číslo ani vlevo ani vpravo neexistuje. 

Výrazy typu a=b a "dobře definovaný objekt": Co myslíš "dobře definovaným objektem"? Vezmi si zápis

$(a= a+1) \wedge (a\in \mathbb{N})$

který od začátku odmítáš. Stejně bys měl nepřipustit zápis

$(\sqrt 2 = \frac a b) \wedge (a,b \in \mathbb{N})$.

Číslo a je v obou zápisech definováno "stejně dobře" nebo "stejně špatně". V obou případech stejně hezky neexistuje.
Odmítneš-li však druhý zápis musíš nejspíš odmítnout i existenci iracionálních čísel a každopádně všechny důkazy sporem...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#59 03. 06. 2017 15:25 — Editoval Eratosthenes (03. 06. 2017 15:38)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

ad 1) Výraz existuje vždy. Existovat začne v okamžiku, kdy se napíše :-) Takže jednoznačně tvoje dvojka. Je totiž třeba rozlišovat to, co stále nerozlišuje ↑ bedrnik: : totiž výraz správný syntakticky a výraz správný sémanticky.  Syntakticky správný výraz je výraz napsaný podle pravidel ("gramaticky správný") a výraz správný sémanticky je to, co existuje, resp. pravdivá informace o existujícím objektu ("pravdivý výrok").

Výraz a+a = 2a je správný syntakticky i sémanticky.

Výraz a+1 = a je správný syntakticky. Má smysl, je rozumět, co tím chtěl autor říci. Není správně sémanticky (takové číslo neexistuje). Ale má smysl to napsat a má smysl se o tom bavit - viz složitější případy limit, nebo ↑ Eratosthenes:.

Výraz a== není správně ani sémanticky ani syntakticky. Je nepochopitelný, není jasné, co tím chtěl autor říci. Nemá smysl takové sekvence psát a o takových zápisech se bavit, až snad na výjimečné případy - např. metajazykové souvislosti - mohu ho uvést např. v učebnici logiky jako příklad syntakticky nesprávné formule.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#60 04. 06. 2017 00:18

check_drummer
Příspěvky: 2397
Reputace:   65 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Upravil jsem bod 1.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#61 05. 06. 2017 11:13

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8172
Reputace:   478 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:


Ahoj.

Podrobnou axiomatiku CB teorie tu jen tak z patra nepodám - snad bude k nalezení na webu.

Smozřejmě, ani vlastní třída nemůže být prvkem sama sebe. Kdyby tomu tak bylo, muselo by
nutně jít o množinu (třída, která je zároveň  prvkem v nějaké třídě,  je dle definice v CBTM množinou). 
Že množina nemůže být svým vlastním prvkem, je rovněž vyřešeno.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson