Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 06. 2017 19:58 — Editoval smartalec (12. 06. 2017 20:01)

smartalec
Zelenáč
Příspěvky: 8
Pozice: student
Reputace:   
 

Zložitá geometria

Štvorec sa nakreslí okolo kruhu, ako je znázornené na obrázku vľavo.
Vyznačíme si modrú oblasť L.
Následne urobíme uhlopriečku ako je na obrázku vpravo.
Vyznačíme si oranžový konkávny trojuholník.

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-06/90311_p587_concave_triangle_1.png
Malo by byť jasné, že konkávny trojuholník zaberá presne polovicu sekcie L.
Dve kruhy sú umiestnené vedľa seba vodorovne, obdĺžnik je nakreslený okolo oboch kruhov a uhlopriečka je ťahaná z ľavej spodnej strany do pravej hornej strany, ako je znázornené na obrázku nižšie.
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-06/90324_p587_concave_triangle_2.png
Tentokrát konkávny trojuholník zaberá približne 36,46% sekcie L.
Ak sú kružnice n umiestnené vedľa seba vodorovne, obdĺžnik je nakreslený okolo kružníc n a uhlopriečka je  ťahaná  ľavej spodnej strany do pravej hornej strany, potom sa dá dokázať, že najmenšia hodnota n, pre ktorú konkávny trojuholník Zaberá menej ako 10% časti L je n = 15.
Aká je najnižšia hodnota n, pri ktorej konkávny trojuholník zaberá menej ako 0,1% úseku L?

Offline

 

#2 13. 06. 2017 13:16

jarrro
Příspěvky: 4753
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   267 
Web
 

Re: Zložitá geometria

$y=\frac{x}{n}\nl
\(x-\frac{1}{2}\)^2+\(y-\frac{1}{2}\)^2=\frac{1}{4}\nl
y=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\(x-\frac{1}{2}\)^2}\nl
x^2-x+\frac{x^2}{n^2}-\frac{x}{n}+\frac{1}{4}=0\nl
x=\frac{1+\frac{1}{n}-\sqrt{\(1+\frac{1}{n}\)^2-4\(1+\frac{1}{n^2}\)\frac{1}{4}}}{2\(1+\frac{1}{n^2}\)}\nl
x=\frac{1+\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{2}{n}}}{2\(1+\frac{1}{n^2}\)}\nl
S_n=\frac{x^2}{2n}+\int\limits_{x}^{\frac{1}{2}}{y\mathrm{d}x}
$
Snáď som niečo neprehliadol ak áno opravte ma


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 13. 06. 2017 17:25 — Editoval jelena (13. 06. 2017 23:18)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29668
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   84 
 

Re: Zložitá geometria

Zdravím,

↑ jarrro: mně se to (snad) podařilo poskládat i metody SŠ (výchozí předpoklad mám stejný, že tg(úhlu uhlopříčky s dolní odvěsnou obdélníku)=1/n. Potom používám "obsah trojúhelníku" - "obsah kruhové úseče". Pokusím se dotáhnout do vyjádření vzorcem, zda se shodneme.

↑ smartalec: odkud je úloha (podle toho bych přesunula z pokročilých VŠ do příhodnější sekce)? Děkuji.

Edit: mé vyjádření je vice komplikované formy (jelikož vyjadřuji úhly potřebné pro výpočet obsahu úseče, tedy se mi objevuje arctg(...) a sin(...)).

Offline

 

#4 15. 06. 2017 14:44 — Editoval Honzc (26. 06. 2017 10:32)

Honzc
Příspěvky: 3693
Reputace:   208 
 

Re: Zložitá geometria

↑ jelena:
Zdravím,
však ono kolegovi ↑ jarrro: se při výpočtu integrálu nějaký arctg nebo arsin také objeví.
Můj vztah

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson