Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 07. 2017 17:19

Zvedavec 4
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Zahada Geometrie Casoprostoru

Pred casem jsem posilal dotazy tykajici se STR do Fora Aldebaranu a taky jsem si prostudoval nekolik internetovych stranek ve snaze ji pochopit. Jelikoz to Forum neni soucasne k dispozici vidim, ze z moznosti, kam ted poslat muj dotaz, tahle je snad ta nejvhodnejsi. Dejte vedet, jestli ne.

Nejsem ani student ani akademik, ale kdysi jsem absolvoval SPS Elektro a tudiz si matiku te urovne alespon okrajove pamatuju.

Fyzika ani matika mne vsak nijak zvlast nezajimaji, jenom jiste teorie jsou opravdu fascinujici a obcas bych se rad o nich trochu neco dozvedel. STR je jednou z nich.

Vzorec pro vypocet intervalu casoprosotru je ocividne Pythagorovou vetou. Ten pocetne zdanlive hodne jednduchy vzorec pro gamu je vlastne jeste jednoduzsi, kdyz si clovek uvedomi, ze je to vlastne taky, pro nematematika dobre zamaskovana, Pythagorova veta, ktera resi vztah mezi dvema silami, ktere na teleso pusobi, tedy vesmirny rozpon, nebo-li zub casu, jez ho premistuje casem a sila pohonu toho telesa jez ho presouva prostorem. Vztah mezi pohybem casem a pohybem prostorem v casoprostoru je taky na strankach Aldebaranu popsan, ze se ridi Pythagorovou vetou.

Ale v textech o STR je taky popsano, ze prubeh zpomaleni casu v zavislosti na narustajici rychlosti opisuje hyperbolu.

Neni mi vubec jasne, jak se tyhle dva predpoklady, sinusovy prubeh na strane jedne a hyperbolicky na strane druhe, slucujou? Nejsem matematik a tak mi muzou schazet nejaky zakladni znalosti geometrie, ale neslysel jsem nikdy ve skole, zeby tyhle dve krivky byly nejak sobe pribuzne.

Offline

 

#2 17. 07. 2017 00:34

fyzmat001
Zelenáč
Příspěvky: 2
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

Nie som si istý či sa pýtaš na toto ,ale viem že ,Einstein prišiel na to ,že pri meraní času a dĺžky v roznych sústavách možu rozny pozorovatelia namerať rozne hodnoty. Ak však pomocou prevodového faktoru(rýchlosť svetla) prevedieme čas aj dľžku na rovnaké jednotky a budeme ich brať rovnocenne vznikne nam stvorrozmerný priestor. Priestor v ,kt. je každý bod popísaný 4 súradnicami(x,y,z,t-čas v metroch). Einstein prišiel nato ,že vo všetkých sústavách pozorovatelia namerajú nezávysle od roznych hodnot dĺžky a času rovnakú hodnotu priestoročasového intervalu. To sa vo fyzike nazýva invariantnosť priestoročasového intervalu(teda rozny pozorovatelia v roznych sustavach nameraju rovnaku hodnotu intervalu-invariantnosť,nemennosť). Priestoročasový interval sa počíta takto:
$interval^{2}=čas v metroch^{2}-dĺžka^{2}$
$interval=\sqrt{čas v metroch^{2}-dĺžka^{2}}$
Jedná sa o Pytagorovú vetu ,ale namiesto znamienka plus je tu znamienko mínus.To ,preto lebo znamienko plus je v Pytagorovej vete použitej  v Euklidovskej geometrii(geometria na rovine,klasická geometria) ,ale Einstein predpokladá zakrivenie časopriestoru(Einsteinova teória gravitácie-zakrivenie časopriestoru) ,preto sa vo výpočtoch súvisiacich s časopriestorom používa Lorentzová geometria(geometria na zakrivenej rovine, napr. geometria na povrchu Zeme-povrch Zeme je zakrivený) ,v kt. má Pytagorová veta tvar:
$c^{2}=a^{2}-b^{2}$
V Lorentzovej geometrii napr. nieje najkratšia dráha medzi dvoma bodmi priamka ,ale krivka. Lorentzova geometria teda može byť odpoveď na tvoju otázku. Ale nie som si istý. Prepáč za tú gramatiku a ak som niečo zle povedal.

Offline

 

#3 17. 07. 2017 08:05 — Editoval misaH (17. 07. 2017 08:10)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

$interval^{2}=čas v metroch^{2}-dĺžka^{2} $

$\text{interval}^{2}=\text{čas v metroch}^{2}-\text{dĺžka}^{2}$

↑ fyzmat001:

Ak v Texe chceš napísať text, musíš to upresniť, lebo Tex to nezobrazí.

Offline

 

#4 08. 08. 2017 13:23

Zvedavec 4
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

Dekuju za odpoved. Jeste bych ten svuj dotaz upresnil.

Puvodne jsem se dozvedel na Aldebaranu, ze vztah mezi vzdalenosti, kterou teleso urazi v case a tou, kterou urazi v prostoru se ridi Pythagorovou vetou a proto jsem se to tak snazil pochopit.

Ma otazka se tykala vzorecku pro vypocet gamy, tedy 1/$\sqrt{}$(1-v$^{2}$/c$^{2}$). To, ze  je tim vztahem a "rafinovane ukrytou" Pythagorovou vetou jsem si uvedomil, kdyz jsem si to rozkreslil. A jelikoz ma tvar a^2=c^2-b^2, myslel bych si, ze tomu tak skutecne je. Ale to se jenom domnivam.

Ty se zminujes o intervalu casoprostoru s^2=x^2-(ct)^2 a s'^2=x'^2-(ct')^2, kde tomu je obracene, tedy c^2=a^2-b^2 a kde potom s^2=s'^2. Nasel jsem si zakladni vzorec pro hypebolu, kterej tedy zni, ze x^2/a^2-y^2/b^2=1, takze vidim odkud to znamenko minus pochazi a je mi to tim tedy o trochu jasnejsi.

Taky jsem zjistil, ze dr.od. z (1-v^2/c^2)  je ve jmenovateli jenom ten hyperbolicky vztah pocetne vyjadrit a ten vzorec tedy neni dukazem, ze tomu tak je. Pises, ze Einstein se domnival, ze tomu tak bude kvuli zakriveni casoprostoru. Existuje o tom tedy konkretni dukaz anebo je to jenom predpoklad?

Protoze nejsem matematik nemuzu se poustet do Lorentzovy geometrie. Snazim se to tedy pochopit spis intuitivne.

Jelikoz ale zakladni Pythagorova veta v tom vypoctu figuruje, znamena to snad, ze jejim pouzitim se prijde k pribliznemu vysledku a k presnejsimu vypoctu je zapotrebi pocitat s hyperbolou a tou Lorentzovou geometrii?

Offline

 

#5 09. 08. 2017 12:38

Zvedavec 4
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

Zakriveni prostoru se deje jenom kolem nebeskych teles a roste s jejich hmotnosti, tedy se silou gravitace. Ve vzorcich gama=$1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$  a  $s^{2}=x^{2}-(ct)^{2}$ pak hmotnost nefiguruje. Jak se tomu ma rozumnet?     

A nekde daleko v mezigalaktickem prostoru, kde zakriveni neni, nemela by se pak ta zavislost ridit ciste podle Pythagorovy vety?

Offline

 

#6 09. 08. 2017 18:16

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

↑ Zvedavec 4:
Ahoj. Tvrzení, že mínus ve výpočtu délky intervalu podle vztahu $(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2-(c\cdot dt)^2$ je tam kvůli zakřivenému časoprostoru je chybné. Je to dokonce naopak, ten vztah tak jak jsem ho napsal platí jen v STR, kde se předpokládá prostoročas plochý. Jakmile by se navíc mělo něco zakřivovat, je výpočet délky intervalu ještě o dost komplikovanější a vystupují v něm i nediagonální složky metrického tenzoru. Je ti tedy naprosto správně podezřelé, že ve vzorci pro gama faktor chybí údaj o poloze a hmotnostech okolních těles. Tuto informaci by v sobě právě nesl obecný metrický tenzor (nechme stranou, že ani tak není snadné jeho složky vypočítat).

Podle 4D Pythagorovy věty s plusy se interval nepočítá prostě proto, že taková veličina by nebyla invariantní vůči Lorentzově transformaci. To, co invariantní je je právě interval s takovými znaménky, jako jsem výše napsal. Příroda se zkrátka chová takhle, a ne nějak jinak. Jakou pro to člověk najde nebo nenajde geometrickou interpretaci je druhá věc. Možná interpretace je taková, že vše se neustále pohybuje rychlostí c. Nepohybující se předměty ve směru časové osy, pokud se navíc pohybují v prostoru, pohybují se pořád rychlostí c, akorát pod nějakým malým úhlem k časové ose - takže ten průmět rychlosti do směru času se tím zmenší. Vztah např. pro dilataci času takto odvodit jde, což asi i píšeš. Já osobně se ale snažím na STR dívat pouze v řeči Lorentzovy transformace a do geometrických představ se moc nepouštím. To nejzásadnější překvapení teorie relativity, totiž stálost rychlosti světla, to podle mně stejně nijak neosvětluje.

Pokud jde o ten dotaz jestli "to tak je". Tady si stačí přečíst nějaký historický úvod do STR. Einstein na základě jednoduchých předpokladů vysvětlil spoustu jevů, které do té doby nikdo nevysvětlil. Zatím nebyl proveden žádný experiment, který by dopadl jinak, než teorie předpovídá. Takže nakolik je nám známo, opravdu to tak je.

Offline

 

#7 13. 08. 2017 18:37

rughar
Příspěvky: 395
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   26 
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

↑ Zvedavec 4:

Pozoruje-li se nějaké situace, která dejme tomu proběhla v laboratoři která se vůči nám pohybuje, bude platit:

$-c^2 \Delta \tau^2 = -c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2$

$\Delta x$ představuje, o jakou vzdálenost se vůči nám pohla laboratoř. $\Delta t$ představuje dobu, jak dlouho trval eperiment v laboratoři pro nás, vůči komu se ta laboratoř hýbe. A nakonec $\Delta \tau$ je čas eperimentu, pro pozorovatele uvnitř té laboratoře. Proč tohle píšu - možná ses setkal s tím, že členy se záporným znaménkem byly v rovnici prostě prohozeny a tím pádem byly z plusem. Pak tam člověk samozřejmě vedlmi jednodušše vidí Pythagorovu větu.

Důvod, proč se to píše takto a proč se nechává časový člen se záporným znaménkem je však celkem podstatný. Když se na tu rovnici podíváme podrobně, tak nalevo máme "uklizeny" pozorované veličiny jedním pozorovatelem a napravo jsou veličiny co pozoruje ten druhý. Oba měří různý čas, ale na hodnotě jistého výrazu se všichni musí shodnout. A tomu jistému výrazu se pak začalo říkat prostoročasový interval. To je tedy původ tedy toho mínusového znaménka a pokud hledáme křivku, pro kterou je hodnota prostoročasového intervalu konstantní, dostaneme například rovnici hyperboly.

OTR je už pak jen čistě o tom, že výraz pro prostoročasový interval je mírně modifikován. To nám vytvoří zakřivenou geomoetrii. Zkrátka si lze představit to, že najednou přestane platit v klasickém prostoru Pythagorova věta. Tohle je možné jen v případě, že se nám prostor pokřivil (na příklad na povrchu koule umíme sestrojit trojúhleník, který má všechny tři úhly pravé a všechny strany stejné - tam jistě Pythagorovaa věta, jak ji známe, neplatí.)


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

#8 17. 09. 2017 17:12 — Editoval Zvedavec 4 (18. 09. 2017 02:44)

Zvedavec 4
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

Dekuju, za odpovedi, LukasiM a Rughare. Jeste bych mel tenhle dotaz:

Precet jsem si toho dost o STR v poslednich dvou letech a tak o ni mam hodne informaci na uvazovani. Muzu rict, ze podstatu dilatace casu chapu v principu dost dobre a to prave presne tak, jak to tu popisujes a celkem diky tomu, ze jsem si to rozkreslil. Ale uvazoval jsem o tom a taky si to rozkreslil prave na zaklade P. vety, protoze mi na Aldebaranu bylo receno, ze to tak pracuje.

Docet jsem se, ze na pouhem zaklade tech dvou predpokladu STR, tedy principu relativity a stalosti rychlosti svetla, vyplynou vsechny ty jevy, o kterych se v ni jedna a o kterych mluvis, tedy dilatace casu, kontrakce delek a relativita soucasnosti a snad i dalsi. Vsechny tri celkem dobre chapu.

Myslim si, ze celkem spravne chapu tvuj vyrok, ze prestoze se v STR uvazuje  "jenom" s plochym prostorocasem, musi se pohyb casem a pohyb prostorem skladat pomoci minusu, protoze to jsou precijenom pohyby dvema rozdilnyma prostredima/skutecnostma/podstatama/ukazama, i kdyz jsou v pojeti STR neoddelitene tak jako elektricke a magneticke pole jsou dva ruzne projevy jednoho prirodniho ukazu, elektromagnetismu. A navic ty dva pohyby mezi sebou jaksi "souperi". Tady ale mluvis o vzorecku pro casoprostorovy interval $s^{2}=x^{2}-(ct)^{2}$, ktery je snad prave tim minusem invariantni, a protoze ma tvar vzorecku pro jednotkovou hyperbolu $x^{2}-y^{2}=1$, by taky ten hyperbolicky prubeh mel napodobne nejak vyjadrovat. Celkem bych to chapal.

Ve snaze nejak pochopit pojeti STR jsem se ale soustredil na vypocet pro gamu. Protoze tak jako vzorecek pro ten interval, ktery ma tvar vzorce pro h., tak i jmenovatel $\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ ma tvar $a^{2}=c^{2}-b^{2}$, tedy P.vety. Ten vlastni prepocet pro zmenu dilatace casu co se deje v ruznych souatvach STR, gama, je pak jenom prevracenou hodnotou ty P.vety a proto to tedy vypada, ze ta P.veta by mela mit nejake sve opodstatneni v matematice STR.

Kdyz si totiz nanesu na osu "x" nezavisle promenny hodnoty vzrustajici rychlosti pohybu prostorem a na osu "y" zavisle promenny hodnoty $\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ (bohuzel dost nepresne kvuli malemu rozdilu hodnot), dostavam klesajici krivku, o ktere by se mohlo rict, ze se podoba ctvrtce sinusovky. A podobne, kdyz na osu "y" nanesu hodnoty pro gamu, tedy $\Gamma =1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$krivka se tedy podoba hyperbole (jak by asi mela). Nevim, jestli existuje takovy nejaky prevraceny vztah mezi hyperbolou a sinusovkou, ale tady z toho to tak vypada. A to by pak ten zdanlivy rozpor celkem vysvetlovalo.

Puvodne jsem si myslel, ze to, ze ten prepocet gama zahrnuje prevracenou hodnotu zalezi  jenom na volbe nahledu, z jakeho se rozhodnem na vec divat a jeste pred tim nez jsem se rozhod zjistit, proc by ten prubeh zmeny v case mel opisovat prave hyperbolu.

Kdyz se totiz spocita, ze pri 259 807.621km/s je gama=2, tedy ze se cas cestovatele dilatuje 2x kvuli jeho rychlemu pohybu, tak to taky zaroven znamena, ze mu cas ubiha jenom polovicni rychlosti, protoze se taky navic pohybuje prostorem. Vypada to, ze prave v tomhle rozdilu vezi podstata zdanliveho rozporu mezi prubehem zmeny podle hypeboly anebo podle P.vety. Je to snad jen zmena dilatace, ktera ma ten h. prubeh, ale ne rychlost plynuti casu, protoze ta se da spocitat podle P.vety. A to proto, ze y=f(1/x) (jestli to pisu dobre) nam da hyperbolu. Zda se to byt hlavolam, kde se rychlost plynuti casu, coz by byla normalni uvaha, nahradi uvahou o jeho dilataci.

Muzes tohle nejak okomentovat?

Offline

 

#9 17. 09. 2017 19:52 — Editoval Zvedavec 4 (18. 09. 2017 02:28)

Zvedavec 4
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Zahada Geometrie Casoprostoru

Vim coby skutecnost, ze kdyz si na osu "x" vynesu hodnoty linearni posloupnosti, tedy primky a jejich prevraceny hodnoty nanesu na osu "y", dostanu hyperbolu.

Co jsem mel na mysli je to, ze mozna pri naneseni na osu "x" posloupnost hodnot sinusovky a na osu "y" jejich prevracene hodnoty, mozna bych dostal jisty druh hyperboly. Ale to nevim (omluv moje technicky nepresne vyrazy).

Kdyz jsem si nanesl na osu "x" vzrustajici rychlost pohybu prostorem po 10 000km/s, tedy od 200 000 do 290 000 a na osu "y" hodnoty $\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ vysla mi sestupna krivka podobajici se sinusovce a v druhem pripade jsem nanesl na osu "x" tu samou vzrustajici rychlost po 10 000 a na osu "y" prevracene hodnoty z $\sqrt{1-c^{2}/v^{2}}$ tedy $\Gamma =1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ tak vysla vzestupna krivka podobna hyperbole.

Ma jenoducha intuitivni uvaha, ze rychlost pohybu hmotneho telesa prostorem se, podle STR, muze jenom do nekonecna priblizovat rychlosti "c", ale ne ji docility a tudiz se musi menit hyperbolicky nebude uplne dostatecna, protoze snad i jine krivky krome hyperboly, jako tusim napr.exponenciala, se do nekonecna priblizuji jiste hranici aniz by ji dosahly, i kdyz to taky nevim urcite.

Nepokousim se tady ten hyperbolicky prubeh nijak vyvratit, ale pochopit. Muzes to upresnit? Jestli tedy rozumis, co mam na mysli.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson