Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 07. 2017 16:27 — Editoval vanok (04. 10. 2017 23:14)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Apollonius-ova kruznica

Pozdravujem ↑↑ akdar:,
V tomto vlakne si pohovorime o Apollonius-ovej kruznici a o niektorych jej vlasnostiach.
( vyuzijeme na to dve vlakna kde sme sa na to pripravili:
http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=97411
http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=97495 ).
Definicia a vlasnost 1 Geometricke miesto bodov ktorych vzdialenosti od dvoch danych bodov maju konstantny pomer je kruznica (Apollonius-ova kruznica), ktorej priemer je usecka urcena  dvomi bodmi (na tej istej priamke Ako dva dane body) takymi, ze kazdy z nich deli v danom konstantnom pomere vzdialenost medzi danymi bodomi
I ked sme ukazali v predoslych   vlaknach ze tato definicia je "dobra" tak to pre istotu podrobne ukazeme.
Doplnme este definiciu:
Oznacme stredy Apolloniovych kruznic trojuholnika ABC $O_A, O_B,O_C$ ktore prechadzaju respektivne jeho vrcholmi $A,B,C$.
Volajme ich respektivne A-Apolloniova kruznica, B-Apolloniova kruznica a C-Apolloniova kruznica.
Tak A-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze $\frac {MB}{MC}=\frac cb$;
B-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze $\frac {MC}{MA}=\frac ac$;
C-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze  $\frac {MB}{MA}=\frac ab $.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 21. 08. 2017 13:40

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Apollonius-ova kruznica

Doplnok.
Fixujme dva body A, B a urcijme GMB take, ze
$\frac {\overline {MA}}{\overline{MB}}=\frac m n$
Anlyza.
V trojuholniku ABM, narysujme vnutornu a vonkajsiu osu uhla AMB, ktore nam urcia body C a D na priamke AB ( vyberme bod C medzi A a B)
A plati $ \frac {MA}{MB}=\frac {CA}{CB}= \frac {DA}{DB}=\frac m n$
To znamena tiez, ze body C a D jednoznacne urcene a ze uhol CMD je pravy... a ze GMB M je kruznica priemeru CD.

Teraz je prirodzene popisat construkciu bodov C, D en mame dane body A a B.
(Je uzitocne doplnit obrazok ... ako aj jednu moznu  konstrukciu)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 28. 08. 2017 23:55

akdar
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Apollonius-ova kruznica

↑ Zdravím vanok:
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-08/57291_appo.png

Doufám, že je to dobře :-)

Offline

 

#4 30. 08. 2017 15:30

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Apollonius-ova kruznica

Pozdravujem ↑ akdar:,
Ano je to jedna mozna konstrukcia.
Pochopitelne sme uz ukazali , ze body C D délia harmonicky usecku AB. To ti umoznuje nast aj ine mozne konstrukcie.
Ako sme si slubili, mozme ukazat aj nejake aplikacie, ktore teraz vieme vyriesit. Napr. Tento problem :
Na jednej priamke su dane 4 body A,B,C,D; najdite GMB, z ktorych vidime usecky AB a CD pod tym istym uhlom


Ak chces mozes skusit ho vyriesit.
Teraz alebo neskor.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 08. 09. 2017 21:05 — Editoval vanok (08. 09. 2017 21:08)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Apollonius-ova kruznica

Ahoj ↑ akdar:,
Teraz prehlbme trochu studium o Apollonius-ovych kruzniciach.

Najprv je lahko poznamenat, ze kazdy trojuholnik ABC ma ich 3.
Kazda z nich prechadza jednym z vrcholov trojuholnika.
Tu, ktora prechadza vrcholom A,  volajme A-Apollonius-ova kruznica...atd.

Dokazme, teraz
Tri Apollonius-ove kruznice trojuholnika ABC, sa pretinaju v dvoch fixnych bodoch, ktore sa volaju isodynamicke stredy.


Mas myslienky na dokaz?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 03. 10. 2017 23:33 — Editoval vanok (05. 10. 2017 04:02)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Apollonius-ova kruznica

Dokaz poslednej vlaasnnostti
Predpokladajme, ze prve dve ( A-Apolloniova a B-Apolloniova kuznica) sa pretinaju v bodoch $M, N$
Tak plati $\frac {MB}{MC}=\frac cb$ a $\frac {MC}{MA}=\frac ac$
a podobne pre bod $N$.
Vynasobenim dostaneme $\frac {MB}{MA}=\frac ab $ a tiez $\frac {NB}{NA}=\frac ab$
Posledny riadok znamena, ze body $M,N$ su na C-Apolloniovej kruznici (pozri #1).
Ze je to pekne!!!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 09. 10. 2017 13:51 — Editoval vanok (11. 10. 2017 12:41)

vanok
Příspěvky: 12319
Reputace:   698 
 

Re: Apollonius-ova kruznica

Vyriesme tiez cvicenie z#4.
Na jednej priamke su dane 4 body A,B,C,D; najdite GMB, z ktorych vidime usecky AB a CD pod tym istym uhlom

Prva cast dokazu.( obrazok vitany)
Akoze 4 body su na tej istej priamke, tak je jasne, ze hladame body M take, ze $\sphericalangle AMB=\sphericalangle CMD$.
Analyzujme tuto situaciu.
Trojuholniky AMB a CMD maju rovnaky uhol v M a aj rovnaku vysku cez M.
Preto plati $\frac {MA.MB}{MC.MD}=\frac {AB}{CD};(1)$
Trojuholniky AMC a BMD maju analogicku vlasnost a tak plati
$\frac {MA.MC}{MB.MD}=\frac {AC}{BD};(2)$.
Vynasobenim (1) a (2) dostaneme
$\frac {MA^2}{MD^2}=\frac {AB.AC}{CD.BD}$
Polozme geometricke priemery dvojic AB,AC a CD, BD respektivne m, n.
Potom posledna relacia nam da:
$\frac {MA^2}{MD^2}=\frac {m^2}{n^2}$ a tak mame $\frac {MA}{MD}=\frac mn$
co znamena, ze GMB M je ...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson