Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 08. 2017 00:05

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

rychlostny gradient

Ahoj.
Trošku mi vŕta hlavou, akým spôsobom sa dopočítať na základný 2-D tvar Burgersovej rovnice. Zrejme potrebujem pomôcť so základmi v teórii. Burgersova rovnica v 2-D má nasledovný tvar:
$\frac{D\mathbf{u}}{D t}=\frac{1}{R}\Delta\mathbf{u}.$
Pravú stranu rovnice sa snažím odvodiť z napätí pôsobiacich na element kvapaliny (predstavujem si ho ako štvorček o rozmeroch dx a dy). Počítam kolmé napätie pôsobiace v horizontálnom smere na element. Na oboch koncoch x a x+dx sú nadobúdané rýchlosti v(x+dx,y,t) a v(x,y,t), pričom ich gradient je

$\Delta v = v(x+\Delta x,y,t)-v(x,y,t)\approx\underbrace{\Delta x\frac{\partial v}{\partial x}}_{(1)}$

Intuitívne, ak medzi dvoma bodmi priestoru je rozdielna okamžitá rýchlosť, tento gradient muselo spôsobiť silové pôsobenie (na ceste medzi týmito dvoma bodmi). Hľadajme teda silu F, ktorá pôsobí medzi bodom x a x+dx:
$f=ma\approx m\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{m}{\Delta t}\underbrace{\Delta v}_{(1)}\approx \frac{m}{\Delta t}\Delta x\frac{\partial v}{\partial x}\approx mv\frac{\partial v}{\partial x}$
A teraz už len dopočítam tlak pôsobiaci na hranu elementu:
$\sigma_{xx}=\frac{f}{\Delta y}=\frac{mv}{\Delta y}\frac{\partial v}{\partial x}= \frac{\varrho \Delta y v}{\Delta y}\frac{\partial v}{\partial x}=\varrho v\frac{\partial v}{\partial x}$

Podľa mojej dedukcie toto je tlak, ktorý vyvoláva rýchlostný gradient. Teraz vypočítame diferenciu tlakov pôsobiacich v bodoch (x,y) a (x+dx, y) a dostaneme úplné kolmé napätie pôsobiace na element:
$\sigma_{xx}(x+\Delta x,y,t)-\sigma_{xx}(x,y,t)=\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}\Delta x =\varrho \Delta x\left[\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2+v\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}\right]$.

Už ani nemusím počítať ďalej a vidím, že som dostal sadu nelineárnych členov, ktoré po dosadení do pohybových rovníc nebudú korešpondovať s výsledným tvarom Burgersovej rovnice.

Viete mi poradiť kde robím chybu? Díky.


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#2 10. 08. 2017 11:04

rughar
Příspěvky: 395
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   26 
 

Re: rychlostny gradient

↑ lukaszh:

Trochu se mi zdá, že hra s úpravou rovnic tu předbíhá fyziku... Výše Burgesova rovnice by měla mít na levé straně zrychlení působící na částici tekutiny a na pravé straně původ sil. To by bylo v pořádku. S levou stranou pak lze pracovat tak, že se dá například rozepsat řetízkovým pravidlem a získat parciální derivace rychlostí. To už je jen o vyjádření (Lagrangeův popis, kde sledujeme částici a nebo Eulerův popis, kde sledujeme vývoj rychlosti v jednom fixním bodě nebo změnu rychlosti v různých bodech v jednom fixním čase).

Pravá strana rovnice má popisovat sílu, na což je potřeba vnést trochu fyziky. Ta rovnice se nedá odvodit podobnou matematickou úpravou. Je takto nadhozená ad hoc. Tvrdíme, že viskózní síly zkrátka a dobře jsou dané Laplaceovým operátorem rychlosti. Matematicky je to divergence gradientu nebo v konkrétních souřadnicích to jde poskládat pomocí druhých derivací - to nám ale tak moc neřekne o tom, proč to vypadá takhle (nejvýše to, jak se s tím má počítat).

Pokud hledáš intuici, proč ta pravá strana vypadá zrovna takhle, tak k tomu můžu trochu navést. Laplaceův operátor si lze geometricky představit tak, že jeho hodnota je tím větší, čím je nižší hodnota té rychlosti v porovnání se střední hodnotou spočítanou v okolí. V případě 1-dim je Laplaceův operátor druhou derivací. O druhé derivaci platí, že pokud průměr okolních hodnot odpovídá hodnotě ve středu tak je výsledek nula (což je například pro lineární funkci). Pokud je průměr okolních hodnot nižší, než hodnota ve středu, pak je funkce konkávní a druhá derivace je tam záporná. A tohle by velmi zhruba mělo navést na model té síly. Že je tím vyšší, čím vyšší je hodnoty rychlosti v okolních bodech vůči hodnotě ve středu. Dá se to nazvat jistou formou tření a tendencí rychlost srovnávat na stejnou hodnotu. Velice podobně funguje rovnice vedení tepla.

Ta rovnice je modelová, proto je potřeba na ni nahlížet takto, jak ji popisuji. Kdyby byla jen odvezena z jiného vztahu, tak by se k ní teprve mělo přistupovat více matematicky. Takže pokud se ptáme, proč jsou viskózní síly popsány zrovna tak, že jsou úměrné $\Delta \textbf{u}$, tak je to zkrátka proto, že se jedná o model, který vzniknul nejspíš podobnou úvahou, jako jsem psal v minulém odstavci.


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson