Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 08. 2017 18:32 — Editoval PlusPlusPlus (14. 08. 2017 20:01)

PlusPlusPlus
Příspěvky: 71
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

konvergence řady a její součet

Ahoj,
zkonstruoval jsem tuto posloupnost, která má následující limitu:

$\lim_{n \to {\infty }} \sum_{k=n}^{2n-1}\bigg(\frac{1}{2k+1}\bigg)=  . . .  = \frac{ln2}{2}$

Najde se někdo, kdo dokáže tuto limitu vypočítat? Mám jeden způsob výpočtu, popřemýšlím jakým způsobem mám výpočet co nejsrozumitelněji popsat.

Offline

 

#2 14. 08. 2017 19:11

vlado_bb
Příspěvky: 2485
Škola:
Reputace:   71 
 

Re: konvergence řady a její součet

↑ PlusPlusPlus: Podla mna to nie je rad ale postupnost.

Offline

 

#3 14. 08. 2017 19:47

PlusPlusPlus
Příspěvky: 71
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: konvergence řady a její součet

Ahoj,
já to chápu tak, že když sčítám členy je to řada. Ale poslední dobou se často mýlím, tak nevím.
$(n=20) \Rightarrow  \sum_{k=20}^{39}\bigg(\frac{1}{2k+1}\bigg)$, $(n=21) \Rightarrow  \sum_{k=21}^{41}\bigg(\frac{1}{2k+1}\bigg)$, $(n=22) \Rightarrow  \sum_{k=22}^{43}\bigg(\frac{1}{2k+1}\bigg)$ ...

Offline

 

#4 14. 08. 2017 19:57 — Editoval vlado_bb (14. 08. 2017 19:58)

vlado_bb
Příspěvky: 2485
Škola:
Reputace:   71 
 

Re: konvergence řady a její součet

↑ PlusPlusPlus: Rad a postupnost je to iste - rozdiel je iba v tom, co nas na nich zaujima. Na postupnosti obvykle limita, na rade obvykle sucet, teda limita postupnosti ciastocnych suctov. V uvodnom prispevku pisete, ze $\lim_{n \to {\infty }} a_n = \frac{ln2}{2}$, teda hovorite o limite postupnosti. Potom ale poznamka o absolutnej konvergencii straca zmysel.

Offline

 

#5 14. 08. 2017 20:03

PlusPlusPlus
Příspěvky: 71
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: konvergence řady a její součet

Opravil jsem zadání, je to OK?

Offline

 

#6 14. 08. 2017 20:21

vlado_bb
Příspěvky: 2485
Škola:
Reputace:   71 
 

Re: konvergence řady a její součet

↑ PlusPlusPlus: Ano, toto je uz zrozumitelna formulacia.

Offline

 

#7 21. 08. 2017 15:11 — Editoval PlusPlusPlus (21. 08. 2017 15:54)

PlusPlusPlus
Příspěvky: 71
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: konvergence řady a její součet

Vycházím z Taylorovy řady: $ln(1+x)= \sum_{k=1}^{\infty }\bigg[\frac{(-1)^{k+1}\cdot x^k}{k}\bigg]$, tedy: $(x=1) \Rightarrow  ln2 = \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{k}$

Řada $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{k}$ je alternující, neabsolutně konvergentní, její součet je $ ln2 $

Podle Riemannovy věty, lze udělat k této řadě přerovnání. Já volím přerovnání řady takové, že budu střídat jeden kladný člen a dva členy záporné, tedy: $ \sum_{k=1}^{\infty } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} )$ Konkrétně pro tuto řadu je přerovnání: $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{(2k-1)+1}}{2k-1}+\frac{(-1)^{(4k-2)+1}}{4k-2}+\frac{(-1)^{(4k)+1}}{4k}$, po úpravě:  $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} = \frac{ln2}{2}$
Po přerovnání se součet řady změnil. Původní řada měla součet $ln2$, přerovnaná řada má součet $\frac{ln2}{2}$

==========================================================================

Je operace sčítání v $ \mathbb{C}$ komutativní? Co se stalo po přerovnání neabsolutně konvergentní řady? Kde se některé členy poděly? Je přerovnání řady, opravdu permutace (změna pořadí) členů?

Začnu touto úvahou. Na počátku nevím co je to nekonečná řada, nevím jak to mám vnímat. Takže začnu s řadou konečnou a sestavím tuto rovnici:
$\sum_{k=1}^{4n} a_k = \sum_{k=1}^{n } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=n}^{2n-1} (a_{2k+1})$
O tom že jsou levá a pravá strana identické se můžu přesvědčit matematickou indukcí:
$(n=1) \Rightarrow  \sum_{k=1}^{4} a_k = \sum_{k=1}^{1 } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=1}^{1} (a_{2k+1})$ - tvrzení platí
$(n=m) \Rightarrow  \sum_{k=1}^{4m} a_k = \sum_{k=1}^{m } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=m}^{2m-1} (a_{2k+1})$
K oběma stranám rovnice přičtu členy:
$\sum_{k=1}^{4m} a_k + (a_{4m+1}+a_{4m+2}+a_{4m+3}+a_{4m+4}) = \sum_{k=1}^{m } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=m}^{2m-1} (a_{2k+1}) + (a_{4m+1}+a_{4m+2}+a_{4m+3}+a_{4m+4}) $
$\sum_{k=1}^{4(m+1)} a_k  = \sum_{k=1}^{m } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=m+1}^{2m-1} (a_{2k+1}) + (a_{2m+1}+ a_{4m+1}+a_{4m+2}+a_{4m+3}+a_{4m+4}) $
$\sum_{k=1}^{4(m+1)} a_k  = \sum_{k=1}^{m } (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) +a_{2m+1}+a_{4m+2}+a_{4m+4}+ \sum_{k=m+1}^{2m-1} (a_{2k+1}) + ( a_{4m+1}+a_{4m+3}) $
$\sum_{k=1}^{4(m+1)} a_k  = \sum_{k=1}^{m+1} (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=m+1}^{2(m+1)-1} (a_{2k+1}) $ , to je dokázáno.
Nyní tuto rovnici s konečným počtem členů aplikuji na konkrétní neabsolutně konvergentní řadu:
$\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}= \sum_{k=1}^{n } \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+1}$
Nyní prohlásím velmi silné tvrzení, Plusovu komutativní větu o nekonečných řadách:
Jestliže je sestavena rovnice rovnosti řad pro konečný počet členů, potom tato rovnice platí i pro limity jednotlivých řad, tedy:
$\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}= \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{n } \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} + \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+1}$
A tedy zákonitě platí, že:
$\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+1} = \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}-\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{n } \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} $
$\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+1} = \sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{k}-\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} $
$\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+1} =ln2 -\frac{ln2}{2}= \frac{ln2}{2}$

U absolutně konvergentní řady samozřejmě taktéž platí Plusova komutativní věta o nekonečných řadách:
Například pro geometrickou absolutně konvergentní řadu $\sum_{k=1}^{\infty} q^k \wedge q<1$, lze pro obdobné přerovnání psát:

$\sum_{k=1}^{4n} a_k  = \sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1}+a_{4k-2}+a_{4k} ) + \sum_{k=n}^{2n-1} (a_{2k+1}) $
$\sum_{k=1}^{4n}  q^k  = \sum_{k=1}^{n} ( q^{2k-1}+q^{4k-2}+q^{4k} ) + \sum_{k=n}^{2n-1} (q^{2k+1}) $
potom $\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{4n}  q^k  = \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{n} ( q^{2k-1}+q^{4k-2}+q^{4k} ) + \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} (q^{2k+1}) $

Protože platí pro všechna $q<1$: $\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=n}^{2n-1} (q^{2k+1}) = 0 $
platí rovněž: $\lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{4n}  q^k  = \lim_{n \to {\infty }}\sum_{k=1}^{n} ( q^{2k-1}+q^{4k-2}+q^{4k} )  $

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson