Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 08. 2017 23:21 — Editoval BobMarley (29. 08. 2017 23:22)

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Kombinatorika

Kolika různými způsoby lze z urny obsahující 6 koulí bílých, 10 červených a 7 zelených náhodně vybrat 8 koulí tak, že mezi vytaženými je alespoň 5 koulí zelených. Koule téže barvy považujeme za nerozlišitelné.
a)    bylo vytaženo přesně 7 zelených koulí
počet možností, jak rozmístit 7 koulí je ${{8 }\choose{7}}$
zbylou kouli můžeme vybrat 2 způsoby
celkem 8*2 = 16

b) bylo vytaženo přesně 6 zelených koulí
počet možností, jak rozmístit 7 koulí je $ {{8 }\choose{6}}$
zbylé koule můžeme vybrat $2^2$ způsoby
celkem 28*4 = 112
c)    bylo vytaženo přesně 5 zelených koulí
počet možností, jak rozmístit 7 koulí je $ {{8 }\choose{5}}$
zbylé koule můžeme vybrat $2^3$ způsoby
celkem 56*8 = 448

Celkem tedy 576 možností

Mohl bych poprosit o kontrolu?
Moc děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) BobMarley)

#2 30. 08. 2017 10:54 — Editoval Rumburak (30. 08. 2017 11:12)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:

Ahoj.

Asi by měl být uveden předpoklad, že nezáleží na pořadí, v jakém byly koule taženy.

EDIT.

Jde o "chyták".  V předepokladech je totiž uvedeno,  že koule téže barvy jsou nerozlišitelné.
To znamená, že např. $n$ koulí zelených ($1 \le n \le 7$) lze vybrat pouze jedním způsobem.



ad a)

K 7-mi zeleným možno přidat

                       1 bílou nebo 1 červenou,

celkový počet možností je tedy 2 .

ad b) 

K 6-ti zeleným lze přidat

                    2 bílé nebo 2 červené nebo (1 bílou a 1 červenou),

což dává 3 možností.             

ad c) 

K 5-ti zeleným lze přidat

          3 bílé nebo 3 červené nebo (2 bílé a 1 červenou)  nebo (1 bílou a 2 červené),

což dává 4 možnosti.

Offline

 

#3 30. 08. 2017 12:16

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Ahoj,
já jsem to pochopil jako různé způsoby - tj. záleží na pořadí...
takže jsem si řekl, že
a) právě 7 zelených koulí
"vybírám 8" - 7 zelených koulí můžu rozmístit ${{8 }\choose{7}}$ způsoby - umísťování 7 předmětů do 8 přihrádek)
Např takto
(B,B,B,B,B,B,B,_)
(B,B,B,B,B,B,_,B)
(B,B,B,B,B,_,B,B)
....
Zbylou kouli můžu vybrat 2 způsoby (bílá, nebo červená).
b) právě 6 zelených koulí
"vybírám 8" - 6 zelených koulí můžu rozmístit ${{8 }\choose{6}}$ způsoby. Zbylou kouli můžu vybrat 4 způsoby (BB, BČ, ČB , ČČ).
b) právě 5 zelených koulí
"vybírám 8" - 5 zelených koulí můžu rozmístit ${{8 }\choose{5}}$ způsoby. Zbylou kouli můžu vybrat 8 způsoby (BBB, BBČ, BČB , BČČ,....,ČČČ).

Offline

 

#4 30. 08. 2017 13:26

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:
Ona kombinační čísla ve Tvém postupu ale naznačují, že mezi zelenými koulemi rozlišuješ.

Offline

 

#5 30. 08. 2017 13:59

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Myslel jsem to takhle:
když bude vybráno 7 zelených koulí:
(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,B)
(Z,Z,Z,Z,Z,Z,B,Z)
(Z,Z,Z,Z,Z,B,Z,Z)
(Z,Z,Z,Z,B,Z,Z,Z)
(Z,Z,Z,B,Z,Z,Z,Z)
(Z,Z,B,Z,Z,Z,Z,Z)
(Z,B,Z,Z,Z,Z,Z,Z)
(B,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z)

(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Č)
(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Č,Z)
(Z,Z,Z,Z,Z,Č,Z,Z)
(Z,Z,Z,Z,Č,Z,Z,Z)
(Z,Z,Z,Č,Z,Z,Z,Z)
(Z,Z,Č,Z,Z,Z,Z,Z)
(Z,Č,Z,Z,Z,Z,Z,Z)
(Č,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z)

Kde každá 8mice je jeden způsob...

Offline

 

#6 30. 08. 2017 14:19 — Editoval Rumburak (30. 08. 2017 14:27)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:

Takže (Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,B), (Z,Z,Z,Z,Z,Z,B,Z) bereš jako 2 různé tahy ?
Tj. taháme koule postupně, každé takto tažené kouli přiřadíme pořadové číslo a na základě
pořadového čísla bílé koule rozlišíme 8 tahů ? Takto jsem zadání nepochopil. Jak zní jeho
přesná verse ?
(Při té závislosti na pořadí, o níž ses zmínil již dříve, jak jsem si před chvíli připomněl, jde o úlohu
poměrně složitou, jejíž elegantní řešení mne zatím nenapadá.)

Offline

 

#7 30. 08. 2017 14:28

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Ano, jako dva tahy.
Takto (viz výše):
Kolika různými způsoby lze z urny obsahující 6 koulí bílých, 10 červených a 7 zelených náhodně vybrat 8 koulí tak, že mezi vytaženými je alespoň 5 koulí zelených. Koule téže barvy považujeme za nerozlišitelné.

Offline

 

#8 30. 08. 2017 14:40

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:
Takže o důležitosti onoho pořadí při rozlišování jednotlivých tahů se tam explicite nepíše.
Odkud plyne, že je nutno brát pořadí v úvahu ? 
Pokud Ti úlohu někdo zadal (například učitel :-)) a o důležitosti pořadí se nezmínil, doporučuji
tuto otázku s ním probrat.

Offline

 

#9 30. 08. 2017 14:49

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

Píše se tam "různé způsoby"...Teď je otázka, co je myšleno různým způsobem...

Pokud by se pořadí nebralo v úvahu, pak je správně Tvé řešení. Pokud by se bralo v potaz, pak mé?

Offline

 

#10 30. 08. 2017 15:58 — Editoval Rumburak (30. 08. 2017 16:12)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:

Pokud by se bralo v potaz pořadí jevů, kdy je z urny tažena nezelené koule:

Případ I :
 
V tažené skupině 8-mi koulí bude právě 7 zelených a tedy právě 1 nezelená (červená či bílá).
Tento případ je ekvivalentní s následující konstrukcí:

a) Nejprve vytáhneme 7 zelených koulí, mezi nimiž se nerozlišuje (jak uvedeno v zadání),
takže všechny tyto varianty považujeme za rovnocenné, tedy za variantu JEDINOU).
Všech těchto 7 tažených koulí srovnáme do řady, přičemž je jedno jak (dle  předpokladu
o vzájemné nerozlišitelnosti koulí téže barvy).

b) Nyní vytáhneme (jediným způsobem - viz opět předpoklad o vzájemné nerozlišitelnosti koulí
téže barvy) bílou kouli a doplníme o ni řadu zelených  koulí, kterou máme z předchozího kroku.
To můžeme provést osmi způsoby (na začátek řady, na konec řady, případně do "mezer" mezi
sousedními zelenými koulemi .

c) totéž, co jsme provedli v kroku b) s bílou koulí, jsme místo toho mohli provést s některou
ze vzájemně nerozlišitelných červených koulí, což dává dalších  8 variant této konstrukce.

Konstrukce ekvivalentní případu I. má tedy celkem 16 variant, tedy $2\cdot {8 \choose 7}$,  avšak zda
jednoduché zobecnění tohoto "vzorce" bude fungovat i na ostatní případy, které jsou zřejmě
složitější,  mi není ještě jasné.


PS.  Ještě k případu I.  Ve svém řešení píšeš

počet možností, jak rozmístit 7 koulí je ${{8}\choose{7}}$

Nevím, co tím přsně myslíš. Pokud máš na mysli "vybrat" , tak to by sedělo, když by se ale
mezi bílými koulemi rozlišovalo. Když se nerozlišuje, pak všechny "sedmice" bílých koulí jsou
rovnocenné a nutno je považovat za sedmici jedinou.

Offline

 

#11 30. 08. 2017 16:27

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
jak umístitt 7 předmětů do 8 přihrádek, tj. aby vznikla "mezera" pro umístění zbývající koule odlišné barvy

Offline

 

#12 30. 08. 2017 16:49 — Editoval Rumburak (30. 08. 2017 16:53)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:

Jasně, teď tomu rozumím. Jinými slovy: kolika způsoby vybrat z osmi přihrádek jednu,
která zůstane volná pro kouli jiné barvy než zelené. Počet je samozřejmě

                            ${8 \choose 1} = {8 \choose 7}$.

Ten zbytek zkusím prozkoumat zítra nebo pozítří.

Offline

 

#13 01. 09. 2017 13:29 — Editoval Rumburak (01. 09. 2017 14:28)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8184
Reputace:   478 
 

Re: Kombinatorika

↑ BobMarley:

Tvé řešení případů a, b, mi připadá numericky správné, když jsem pochopil základ Tvého postupu.

Případ c: 
Máme taženo pouze 5 zelených koulí . Počet možností, jak je umístit nejvýše po jedné do 8-mi
přihrádek , je roven číslu

                              ${8 \choose 5} = {8 \choose 3}$ .

Zbývající 3 prázdné přihrádky (označme je A, B, C) můžeme naplnit nezelenými koulemi takto:

3 červené koule  (v A, B, i C)  -  počet možností: 1

3 bílé koule  (v A, B, i C) -   počet možností: 1

2 červené (v A, B) a 1 bílá (v C)  -  počet možností: ${3 \choose 1} = 3$
(de facto počet možností, jak jsme mohli jednu ze tří přihrádek označit jako C),

2 bílé a 1 červená  -   počet možností: ${3 \choose 1} = 3$  analogicky jako v předchozí situaci.

Celkem $\(1 + 1 + {3 \choose 1} + {3 \choose 1}\){8 \choose 3}$ ,

což také numericky sedí s Tvým výsledkem.

Offline

 

#14 01. 09. 2017 13:56

BobMarley
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Moc děkuji za konzultaci!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson