Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 12. 2017 23:24

check_drummer
Příspěvky: 2433
Reputace:   65 
 

Mohutnost modelů úplné teorie

Ahoj,
následující není úloha, ale spíše úvaha. Děkuji předem za polemiku s ní.

Nechť je dána úplná teorie T (tj. každá uzavřená formule nebo její negace je dokazatelná) s predikátem rovnosti.
Označme jako S(n) tvrzení "existuje n různých prvků". Formálně lze např. S(3) vyjádřit jako
$(\exists x,y,z) x \neq y \wedge x \neq z \wedge y \neq z$ (a pro každé n lze výrok S(n) podobně formálně zapsat).
Potom pokud by existovaly pro m<n modely M(m) a M(n) teorie T o počtu prvků m a n, tak by v M(m) nemohlo platit S(n), které platí v M(n) - a tedy by S(n) ani jeho negace neplatilo současně v obou modelech M(m) a M(n) a tedy by S(n) ani jeho negace nemohla být dokazatelná, což je spor s úplností T. Tedy pokud má T nějaké konečné modely, tak musí mít všechny stejnou mohutnost.

A pokud bychom dovedli nějak formalizovat výroky P(K) tvaru "Existuje množina stejné mohutnosti jako kardinál K" (pro libovolný kardinál K), tak bychom stejnou úvahou mohli dospět k tomu, že všechny modely teorie T musí mít stejnou mohutnost. Případně, že všechny modely o menší mohutnosti než jistý kardinál L (pokud bychom dovedli P(K) formalizovat jen pro K o menší mohutnosti než L) mají stejnou mohutnost.

Je ve výše uvedených úvahách nějaká chyba? Pokud ne, tak je to docela zajímavé zjištění.


"Mami, co je to ta rekurze?"
"Vysvětlím ti to lépe až zítra."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson