Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 12. 2017 17:43

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2467
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA VSB-TUO
Reputace:   60 
 

Christmas sum of a product

Find the closed form of the sum

$
\large
\boldsymbol{\sum_{\substack{\sum_{j=1}^{k}c_j=n\\[1mm]c_j\in\mathbb N}}\;\prod_{j=1}^{k}c_j},
$

where k and n are arbitrary positive integers.

Offline

 

#2 23. 12. 2017 15:02

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1788
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   133 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ Marian:


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 23. 12. 2017 23:08 — Editoval check_drummer (23. 12. 2017 23:25)

check_drummer
Příspěvky: 2570
Reputace:   67 
 

Re: Christmas sum of a product

Zatím jen jedno pozorování:


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#4 25. 12. 2017 17:13 — Editoval check_drummer (25. 12. 2017 17:50)

check_drummer
Příspěvky: 2570
Reputace:   67 
 

Re: Christmas sum of a product

Další pozorování (nesouvisí s pozorováním výše):


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#5 25. 12. 2017 17:15

check_drummer
Příspěvky: 2570
Reputace:   67 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ Pavel:
Hi, can I ask how did you find your guess? Thank you.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#6 25. 12. 2017 23:07 — Editoval Pavel (26. 12. 2017 02:36)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1788
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   133 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ check_drummer:

By a simple observation. The complete proof can be found below.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#7 26. 12. 2017 10:28 — Editoval Pavel (26. 12. 2017 14:59)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1788
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   133 
 

Re: Christmas sum of a product

In addition, there is a nice consequence of the result above:


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 26. 12. 2017 11:06 — Editoval Marian (26. 12. 2017 16:00)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2467
Škola: OU (99-03,04,05-07)
Pozice: OA VSB-TUO
Reputace:   60 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ check_drummer:

I used the same technique. To obtain the derivative, you can write





↑ Pavel:, ↑ Pavel:

Thank you for your interest and effort when assessing and solving the original problem in detail. I'll study your somewhat expensive approach later.

Offline

 

#9 26. 12. 2017 14:39 — Editoval check_drummer (27. 12. 2017 23:35)

check_drummer
Příspěvky: 2570
Reputace:   67 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ check_drummer:
Předchozí text byl založen na chybné úvaze, díky které byl původní rekurentní vztah chybný, aktualizuji.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#10 26. 12. 2017 14:43

check_drummer
Příspěvky: 2570
Reputace:   67 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ Pavel:
Hi, my guess is that the result should be $n+k \choose 2k$ as I write in my post but I will check this...
Btw: Your product should be written after the sum, not below (typo).


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#11 26. 12. 2017 15:02

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1788
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   133 
 

Re: Christmas sum of a product

↑ check_drummer:

Corrected. Thanks for your remark. Your result si the same as mine, because ${n+k \choose 2k}={n+k\choose n-k}$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson