Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 01. 2018 15:53

flvek
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: -
Reputace:   
 

Dif. rovnice - změna rychlosti tělesa s odporem prostředí

Zdravím,
mám problém s příkladem, ve kterém mám za úkol vytvořit ze slovní úlohy diferenciální rovnici. Její fyzikální význam je mi ovšem naprosto nesrozumitelný, tedy nemohu dojít ani k vytvoření té rovnice, natož k výsledku.
Zadání se mne ptá, jak se bude měnit $v$ tělesa, které se pohybuje vzhůru (já zvolil osu x jako svislou) s nějakou počáteční rychlostí $v_{0}$. Podmínkou je, že je velikost odporové síly okolí přímo úměrná rychlosti tělesa. Druhou částí otázky je změna polohy (místo pol. vektoru r bych zde použil x) při počáteční svislé vzdálenosti tělesa nad zemí $x_{0}$.
V podkladech mám zapsáno $x''+\frac{k}{m}x'=-g$, mělo by to k tomu vést, ovšem netuším, jak s tím pracovat. Je mi jasné, že rychlost je zde jako jedna derivace polohy (x), zrychlení jako dvojitá derivace polohy.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) flvek)

#2 04. 01. 2018 17:10 — Editoval Ferdish (05. 01. 2018 00:52)

Ferdish
Příspěvky: 1003
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   30 
 

Re: Dif. rovnice - změna rychlosti tělesa s odporem prostředí

Pri zostavovaní diferenciálnej pohybovej rovnice musíme zohľadniť všetky sily, ktoré na naše teleso pôsobia. Ich súčtom je výsledná sila vektorovo zapísaná ako $\overrightarrow{F_v}=m\cdot \overrightarrow{a}$, kde $m$ je hmotnosť nášho telesa a $\overrightarrow{a}$ je vektor zrýchlenia telesa.


Ako prvú tu máme tiažovú silu $\overrightarrow{F_G}=m\cdot\overrightarrow{g}$, o ktorej vieme, že pôsobí PROTI pohybu nášho telesa.
Keďže je však vektor grav. zrýchlenia $\overrightarrow{g}$ konštantný (v čase aj v priestore), aj sila $\overrightarrow{F_G}$ je konštantná.



Ďalej tu máme odporovú silu okolitého prostredia, o ktorej vieme, že je priamo úmerná rýchlosti telesa (teda je vzhľadom na rýchlosť telesa LINEÁRNA) a tiež pôsobí PROTI pohybu telesa.
Pokiaľ si koeficient úmernosti označím $k>0$, môžem odporovú silu zapísať ako $\overrightarrow{F_o}=-k\overrightarrow{v}$, kde $\overrightarrow{v}$ je vektor rýchlosti.
Znamienko mínus znamená, že smer odporovej sily je opačný ako smer vektora rýchlosti.


Teraz zostavíme pohybovú rovnicu pomocou výslednej sily zo vzťahu $\overrightarrow{F_v}=\overrightarrow{F_G}+ \overrightarrow{F_o}$, ale najskôr si zvolíme vhodnú súradnicovú sústavu. Zvolil si si SS so zvislou osou x - budem sa tohoto označenia držať.
Avšak neuviedol si, či smeruje zvislo nahor, alebo nadol, a to je chyba - smer osi musí byť známy, aby sme mohli k nemu vztiahnuť jednotlivé zložky našich síl. Predpokladajme preto, že smer osi je zvislo NAHOR.

Teraz skús správne zapísať nenulové zložky jednotlivých síl a dosadiť do rovnice v predošlom odseku.
Pri určovaní znamienok sa orientuj jednotkovým vektorom v smere tvojej osi x. Potom sa pohneme ďalej.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson