Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 02. 2010 19:09

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

Mějme v ZF axiomatické teorii množin nějakou množinu "a" (o ní víme, že je to množina). Platí potom, že každá její podmnožina je také množinou (dle ZF axiomatické teorie)? Je to jednoduché, pokud ji můžeme popsat nějakým predikátem a použít axiom vydělení, ale jde to vždy? A jaká je na tuto otázku (podmnožina je vždy množinou) odpověď, pokud za množinu "a" vezmeme množinu všech přirozených čísel?

Další související otázka zní: Jak obecně dokázat, že nějaká "entita" je množinou - znamená to dokázat formálně větu "existuje a taková, že a má danou vlastnost"? Co když tuto vlastnost není možné pospat žádným predikátem (ale lze ji popsat jinými prostředky - např. "množina čísel, která když jistý turingův stroj dostane na vstup, tak se nezastaví" - i když i u té si nejsem jistý, zda není nějakým predikátem popsatelná)? - Existuje taková "nepopsatelná" vlastnost vůbec?

Díky za odpovědi, eventuelně za upřesňující dotazy. :-)


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) check_drummer)

#2 04. 02. 2010 09:31 — Editoval Rumburak (04. 02. 2010 09:56)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

Na první otázku:

Ano .  Dokazuje se věta: je-li třída T částí množiny m, potom třída T je množinou.
Zda množinou m je množina přirozených čísel, není podstatné.  ZF  obsahuje teorii př. č.  tak, že třída př.č. je v ZF množinou .

K otázce druhé:
Zavádět konkretní množiny jinak než pomocí predikátů  sestavených ve formálním jazyce je nepřípustné.
Jiný způsob by nemusel být korektní a bylo by těžké to zkoumat. Viz četné "paradoxy" (ve skutečnosti rozpory) v intuitivní teorii množin.
Axiomatické TM založené na přísných formalismech - jako např. ZF - byly vybudovány právě proto, aby se takovýmto sporům zamezilo.

Ke studiu ZF doporučuji knihu Bohuslav Balcar , Petr Štěpánek: Teorie množin (nakl. Academia), v níž jsou na příkladech rozebrány i důvody,
proč TM nutno budovat po formální stránce přísněji než  jiné matematické teorie.

viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fr … no%C5%BEin

Offline

 

#3 06. 02. 2010 18:59

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

↑ Rumburak:

Potom si ovšem myslím, že existuje nějaká podmnožina přirozených čísel, kterou nelze popsat formulí (formule popisuje právě tuto množinu a žádné jiné) teorie množin (formálním popisem pomocí predikátů, kvantifikátorů, tedy jazykem teorie množin).Takových formulí je totitž spočetně, každá popisuje jednu množinu (dokonce více formulí může popisovat stejnou množinu), kdežto podmnožin přirozených čísel je nespočetně.
Je tato úvaha správná? Je nám potom k něčemu, že "entita" je množinou, když ji stejně nepopíšeme? :-)


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#4 06. 02. 2010 19:20

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 780
Reputace:   24 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

↑ check_drummer:

Dokonce platí ještě mnohem silnější tvrzení. Existuje podmnožina množiny přirozených čísel, která nelze posat rekurzivní množinou formulí. (Plyne to z Godelovy věty o úplnosti)


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

#5 08. 02. 2010 09:39 — Editoval Rumburak (08. 02. 2010 09:55)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

↑ check_drummer:
Na první otázku odpověděl kolega Wotton, pokusím se odpovědět na tu druhou.

Podobdnou otázku bychom si mohli položit i u aritmetiky :
"je k něčemu, že umíme vypočítat   568411325221569323235789 * 741254523645103541330 ?"

I když množiny, které nelze popsat pomocí formulí jazyka TM, existují, v úlohách z TM se s nimi  nesetkáváme.
Taková konkretní úloha totiž nutně začíná nějakou formulí v jazyce TM.

Úloha "najdi množinu, kterou nelze popsat žádnou formulí v jazyce TM" je formulována v metajazyce, není to tedy úloha z TM.


PS.  Těmito otázkami jsem se nijak podrobně nezabýval, takže snad mne někdo ještě doplní nebo opraví.

Offline

 

#6 08. 02. 2010 10:12

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 780
Reputace:   24 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

↑ check_drummer:↑ Rumburak:

Ještě mě napadlo doplnění k čemu je množina kterou nemůžeme popsat.
Toto doplnění silně souvisí s Axiomem výběru. Vše co pomocí něj dokážem je nekonstruktivní a tudíž nepopsatelné, takže třeba k tomu:-)

A ono když ho odmítnem, tak si moc nepomůžem, protože důkazy pomocí negace axiomu výběru jsou také nekonstruktivní, ...


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

#7 24. 09. 2012 18:41

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

↑ check_drummer:

Ahoj, vraciam sa k tej to teme.
Nasiel si odpovede na otazky co si mal na tuto temu?
Akoze tu boli  dane odpovede, ale pouzivajuce pojmy co tu neboli dostatocne vysvetlene.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson