Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 06. 2013 00:05

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Pevný bod monotónního zobrazení

Ahoj,
nechť množina M je lineárně uspořádaná a nechť má vzhledem k tomuto uspořádání nejmenší a největší prvek. Nechť f je (ostře) rostoucí zobrazení z M do M (tj. pro x<y je f(x)<f(y)). Dokažte nebo vyvraťte, že f má pevný bod - tj. existuje c takové, že f(c)=c.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) check_drummer)

#2 29. 06. 2013 19:53

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Pevný bod monotónního zobrazení

↑ check_drummer:

Ahoj,


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 29. 06. 2013 23:40

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Pevný bod monotónního zobrazení

Ahoj ↑ check_drummer:,
pozri si napr toto http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_poin … ematics%29

Odpoved na tvoju otazku je ako napisal kolega↑ OiBobik:, vseobecne nie.
Ale za urcitych hypotez, odpoved je kladna.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 30. 06. 2013 09:32 — Editoval check_drummer (30. 06. 2013 09:33)

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: Pevný bod monotónního zobrazení

↑ OiBobik:
Ahoj, díky, to je pravda. Já jsem spíš přemýšlel o takových množinách, ze kterých nedovolíme "vyndavat" prvky - ovšem toto bych musel nějak striktně podchytit (např. pomocí nějaké souvislosti, spojitosti, apod.). (A somozřejmě jsem to měl uvést.) Pro začátek se ptejme, zda existuje zobrazení f bez pevného bodu pro $M:=[0;1] \cap \mathbb{Q}$. Pro $M:=[0;1]$ si myslím, že pevný bod existuje vždy - důkaz by vhodně využil existence suprema každé podmnožiny M - ovšem pokud budeme jen v racionálních číslech, není důkaz (ne)existence pevného bodu na první pohled zřejmý (alespoň pro mě).

Napadlo mě zkoumat f(M),f(f(M)),..., ovšem tato posloupnost nemusí konvergovat k jednobodové množině (myslím si).


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#5 30. 06. 2013 18:00

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Pevný bod monotónního zobrazení

↑ check_drummer:

Co se tyce prikladu $[0,1]\cap \mathbb{Q}$, staci vzit funkci $x\mapsto \frac{x^2}{2}+\frac{1}{4}$ - ta ma potencialni pevny bod iracionalni, takze skutecne nema pevny bod.

Myslim, ze priklad $[0,1]$ uz mit vzdy pevny bod bude.

Podobne si myslim, ze pevny bod bude existovat, kdykoli to bude dobre usporadani.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#6 01. 07. 2013 17:13 — Editoval OiBobik (01. 07. 2013 17:15)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Pevný bod monotónního zobrazení

Pridavam jeste dukaz tech dvou domnenek:

Oznacme $N=\{x \in M | f(x)\leq x \}$ a $y:=\inf N$.
Buno o $f$ predpokladejme, ze krajni body nejsou pevne body - pak je jiste $N$ neprazdna.

A) Pripad $M=[0,1]$: Tvrdime, ze
$f(y)\leq y$:
Necht ne, tedy $f(y)>y$. Pak z vlastnosti infima existuje $z\in N \cap (y,f(y))$. Tedy z $f(z)\leq z <f(y)$, zaroven vsak $y<z$, tedy $f(y)<f(z)$. To je spor.

B) At uz jde o dobre usp. nebo o pripad $[0,1]$, diky A) mame, ze $y=\min N$. Tedy $f(y)\leq y$. Pro spor predpokladejme, ze $f(y)<y$. Pak na jednu stranu, $f(y)\not \in N$, tedy $f(f(y))>f(y)$. Na druhou stranu, $f(y)<y$ a $f$ je rostouci, tedy $f(f(y))<f(y)$. To je spor. Nutne tedy nastava rovnost.

Pozn: zda se mi, ze stejny dukaz projde i pro neostre verze, tj pro neklesajici funkci.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson