Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 12. 2013 12:27

OrangeTree
Příspěvky: 59
Reputace:   
 

Součet nekonečné řady

Hezké odpoledne :),

snažím se vyřešit sumu: $\sum_{i = 1}^{\infty} {i  \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{i - 1}}$.

Vzpomínám si, že jsem kdysi podobný příklad řešila nějak takto:
$\frac{1}{6} [ 1 + 2 (\frac{5}{6}) + 3 (\frac{5}{6})^2 + 4 (\frac{5}{6})^3 + \ldots] \\ \\
= \frac{1}{6} [1 + \frac{5}{6} + (\frac{5}{6})^2 + (\frac{5}{6})^3 + \ldots \\
+ \frac{5}{6} + (\frac{5}{6})^2 + (\frac{5}{6})^3 + \ldots \\
+ (\frac{5}{6})^2 + (\frac{5}{6})^3 + \ldots \\
+ (\frac{5}{6})^3 + \ldots \\
+ \ldots]$.

Tím mi vznikl "trojúhelník", který už se dal hezky posčítat, bohužel to v tom nevidím, jak na to. Děkuji za rady :).

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) OrangeTree)

#2 29. 12. 2013 12:31 — Editoval vanok (29. 12. 2013 12:32) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Zbytocne

#3 29. 12. 2013 12:38

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5196
Reputace:   195 
Web
 

Re: Součet nekonečné řady

↑ OrangeTree: vzpomínáš si správně. každej řádek můžeš sečíst coby geometrickou řadu; pak posčítáš ty dílčí výsledky

Online

 

#4 29. 12. 2013 13:13

OrangeTree
Příspěvky: 59
Reputace:   
 

Re: Součet nekonečné řady

↑ Stýv:
Takže podle vzorce pro součet nekonečné geometrické řady ($S_n = \frac{a_1}{1 - q}$) dostávám:

$\frac{1}{6} [\frac{1}{1-\frac{5}{6}} + \frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{5}{6}} + \frac{(\frac{5}{6})^2}{1-\frac{5}{6}} + \ldots] \\
= \frac{1}{6}[\frac{1}{1-\frac{5}{6}}(1 + \frac{5}{6} + (\frac{5}{6})^2 + \ldots)] \\
= \frac{1}{6}[6(\frac{1}{1-\frac{5}{6}})] \\
= 6$.

Je to tak správně :)?

Offline

 

#5 29. 12. 2013 14:01

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5196
Reputace:   195 
Web
 

Re: Součet nekonečné řady

jo

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson