Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 01. 2014 15:54

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

optional stopping theorem

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s jedním krokem v důkazu optional stopping theorem:

Nechť $\mathcal{F}_n$ je filtrace a $(X_n)$ je $\mathcal{F}_n$-submartingal. Nechť $T$ je markovský čas a nechť $T < \infty$ s.j.
Potom $\left( X_{T \wedge n} \right)$ je $\mathcal{F}_n$-submartingal.


Chci tedy ukázat, že  $\left( X_{T \wedge n} \right) \in \mathbb{L}_1$, $\left( X_{T \wedge n} \right)$ je $\mathcal{F}_n$-adaptovaná posloupnost, která má submartingalovou vlastnost tj.
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] \ge  X_{T \wedge n}$.

Postupuji takto:
Z optional sampling theorem vím, že $X_{T \wedge n} \in \mathbb{L}_1$, protože minimum dvou markovských časů je opět markovský čas.
Dále vím:
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] \ge  X_{T \wedge n}$
A také, že $\mathcal{F}_{T \wedge n} \subset \mathcal{F}_{n} $.

Tedy dostávám
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] =
\text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] | \mathcal{F}_n \right] =
\text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] | \mathcal{F}_{T \wedge n}  \right]$
a toto by mělo být $\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right]$, ale nějak nechápu proč by tomu tak mělo být.

Prosím, mohl by mi to někdo vystvětlit? Díky moc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 11. 01. 2014 17:03

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5196
Reputace:   195 
Web
 

Re: optional stopping theorem

elegantní důkaz má Myšák, pomocí indikátorů by to mělo jít udolat i takhle napřímo

Offline

 

#3 11. 01. 2014 17:07

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: optional stopping theorem

↑ Stýv:
Díky za reakci a odkaz.
O jiných důkazech vím, ale v tomto mě zaráží právě ta poslední úprava. Nejde mi vlastně ani o důkaz věty jako o tu danou úpravu, které bohužel nerozumím.

Offline

 

#4 11. 01. 2014 18:05

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5196
Reputace:   195 
Web
 

Re: optional stopping theorem

rozděl to pomocí indikátorů na případy $T\leq n$ a $T>n$. pro $T\leq n$ je $X_{T \wedge (n+1)}=X_T$ $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_{T \wedge n}$-měřitelná. pro $T>n$ je $\mathcal{F}_{T \wedge n}=\mathcal{F}_n$. z toho už to snad je vidět

Offline

 

#5 11. 01. 2014 19:06 — Editoval drabi (11. 01. 2014 19:36)

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: optional stopping theorem

↑ Stýv:
tak tedy
pro $T>n$ je $\mathcal{F}_{T \wedge n}=\mathcal{F}_n$ a mám:
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] =
\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{n} \right] $

pro $T\leq n$ je $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_{T \wedge n}$ a mám:
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] =
\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] =
\text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] | \mathcal{F}_n \right] =
\text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] | \mathcal{F}_{T}  \right]$
ale tady se dostávám do toho bodu, kde nevím kam dál.
Možná je to zřejmé ale momentálně to bohužel nevidím (omlouvám se za natvrdlost). Mohl bys mi to, prosím, ozřejmit?

EDIT:
pro $T\leq n < n+1$ je ale $X_{T \wedge n+1} \in \mathcal{F}_T$, takže
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] =
\text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] | \mathcal{F}_n \right] =
 \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{n} \right]$.
Je to tak dobře?

Offline

 

#6 11. 01. 2014 19:50

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5196
Reputace:   195 
Web
 

Re: optional stopping theorem

vypadá to ok

Offline

 

#7 11. 01. 2014 19:52

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: optional stopping theorem

↑ Stýv:
Super, díky moc za trpělivost a rady :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson