Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
29. 06. 2014 (Jel.) Máte bohatou slovní zásobu? Tak se ukažte!
22. 06. 2014 (byk7) Zadání domácího kola 64. ročníku MO kat. A, B a C.
20. 05. 2014 (Jel.) Nová sekce "Zajímavých a náročnějších úloh z fyziky".
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použit některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
01. 09. 2013 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie - aktuální

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 02. 2014 00:44

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

Ahojte,

Moje znalosti z matematiky sú značne obmedzené, ale zaujímal by ma názor niekoho vzdelanejšieho na moju otázku. Na strednej som sa stretol so vzorcom na výpočet vnútorného uhla pravidelného n-uholníka.

$\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ$

Potom sme sa začali učiť o limitách a tak som uvažoval, že $\lim_{n\to+\infty } \frac{n-2}{n}\Pi =\Pi$

Znamená to, že pravidelný nekonečno-uholník má vnútorný uhol 180 stupňov? Čiže dalo by sa povedať, že je to priamka? A ak to je priamka, tak platí, že môžeme priamku považovať za spojitú v nekonečne?

Dúfam, že mi niekto pomôže doplniť moju medzeru vo vnímaní. Učitelia sa so mnou o tom nechcú rozprávať :D.


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#2 28. 02. 2014 08:30

LukasM
Příspěvky: 2673
Reputace:   155 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ coolcake:
Pravidelný n-úhelník se zvyšováním n konverguje samozřejmě ke kružnici. Úhel u vrcholu konverguje k $\pi$. To je podle mně tak všechno co se dá říct. Obecně je potřeba dávat pozor, a nezapomínat na to "konverguje". Jakmile začneš počítat s nekonečnem jako s normálním číslem, můžeš dostat všelijaké nesmysly - třeba že kružnice je přímka. To není.
Prasácky řečeno, "pravidelný nekonečno úhelník" by byl kružnice, a ano, úhel sevřený mezi třemi body "vedle sebe" by byl $\pi$. Akorát že ty body "vedle sebe" jsou ve skutečnosti nekonečně blízko vedle sebe (takže žádné body "vedle" tam vlastně nejsou) - a v tom je ten problém.

Trochu mi to připomíná Zenónovy paradoxy, nad těmi se zkus taky zamyslet - mohlo by ti to pomoct při pochopení diferenciálního počtu.

Offline

 

#3 28. 02. 2014 10:11

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM:

Hmh, konverguje ku kružnici? Nemalo by to ale znamenať, že za predpokladu, že ten uhol je nekonečno blízky  $\pi$
a, že strana takéhoto nekonečného pravidelného n-uholníka má dĺžku, ktorá je kladné reálne číslo, že by sa ten nekonečno-uholník nikdy nemal uzavrieť?

Pred nedávnom som sa zamýšľal aj nad Zenónom. Nikdy ma v živote nepredbehla korytnačka :D. Ani som nevidel bežca, ktorý by nedokázal dobehnúť nekonečne krátku vzdialenosť, aj keď z matematického hľadiska to nedokážem vyvrátiť a tým pádom som bol čím ďalej tým viac zmätený a som dodnes ohľadom chápania nekonečna.

Každopádne, rád by som sa ešte spýtal na to vnímanie limity. Viem, že v škole napríklad rátame, že \frac{1}{\infty }=0, čo bude asi nezmysel a toto číslo v skutočnosti len konverguje k nule. Ibaže samotný jav konvergentnosti sa javí, ako ľudské pozorovanie. Nemohlo by to znamenať, že takýto nekonečne "dlhý" jav sa môže uskutočniť za nekonečne "krátku" dobu. Resp ako vieme, že $\frac{1}{\infty }$ je číslo blízke nule. Vyplýva to z nejakých vlastností nekonečna?

Oh nakoniec si vždy poviem, že možno už len samotné slovo nekonečno predurčuje k jeho nepochopiteľnosti vzhľadom ku konečnej výpočtovej kapacite ľudskej mysle alebo strojov. Bol by som rád ak by mi to niekto vyvrátil :)


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#4 02. 03. 2014 20:24

LukasM
Příspěvky: 2673
Reputace:   155 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ coolcake:
"že strana takéhoto nekonečného pravidelného n-uholníka má dĺžku, ktorá je kladné reálne číslo, že by sa ten nekonečno-uholník nikdy nemal uzavrieť"
On se uzavře. Ta "strana" totiž nemá konečnou délku. Celý problém je v tom, že jsi vzal tu limitní hodnotu, a teď s ní počítáš jako s obyčejným číslem.
Ale když si když si zkusíš spočítat obvod n-úhelníka, dostaneš se ke vztahu $O=2nr\sin{\frac{\pi}{n}}$. Limita pro $n\rightarrow +\infty$ je $2\pi r$. Podobně pro obsah dostaneš $\pi r^2$. Ono je to celkem logické, když si uvědomíš jak ty n-úhelníky se zvyšujícím se n vypadají. Problém nastane až v tu chvíli, kdy začneš opravdu mluvit o nekonečnoúhelníku. Pak bys mohl třeba říct - stran je nekonečně mnoho, součet musí tedy být nekonečno. A jsi v háji.

A tam potkáš Zenóna, protože ten je vlastně v tom samém háji. Celý paradox s želvou spočívá v tom, že se ten děj šikovně rozdělí na nekonečně mnoho částí, a pak se prohlásí že nekonečně mnoho částí nemůže trvat konečný čas. A to není pravda. Bylo by třeba spočítat jaký čas trvá n-tý děj, a pak sečíst nekonečnou řadu těch časů. Vyšlo by konečné číslo.

Pokud jde o to dělení nekonečnem. Chápal bych to jako $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}=0$, což říká ten logicky jasný fakt, že pokud jedničku dělím pořád větším a větším číslem, dostávám pořád menší a menší číslo. Přesně řečeno, zvyšováním n se dostanu libovolně blízko nule. Pokud jde o zbytek tvých otázek, nevím jestli je dobře chápu.

Offline

 

#5 02. 03. 2014 20:33

Stýv
Moderátor
Místo: Q
Příspěvky: 4459
Reputace:   150 
Web
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM: podle mě n-úhelník o straně délky $a$ má obvod $na$ a $na\to\infty$... chápeš, kam tím mířím?

Offline

 

#6 02. 03. 2014 20:53

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM: Nerozumiem, ale ak by tá strana mala konečnú hodnotu... že by som to celé pozmenil a povedal, že $a \in  N$ tak, by to práve pre mňa logicky nikdy nemala byť kružnica, pretože kružnica nemá vlastné body na priamke. Resp hypoteticky si myslím, že pre body kružnice platí, že dve za sebou (Už ani v euklidovskom priestore) nemajú nikdy zhodné súradnice X,Y. (Dva body A,B vedľa seba v nekonečnej blízkosti majú X aj Y súradnice rozdielne)


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#7 03. 03. 2014 09:02 — Editoval jarrro (03. 03. 2014 09:07)

jarrro
Příspěvky: 3859
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   171 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM:↑ coolcake:ku kružnici to konverguje za predpokladu, že postupnosť tých n-uholníkov má čoraz kratšie strany pričom dĺžka strany konverguje k nule. Najjednoduchšie je napríklad uvažovať nejaký fixný obvod povedzme (kvôli peknému polomeru limitnej kružnice) $o=2\pi$ a "tvarovať" ho do tvarov n-uholníkov (povedzme pre jednoduchosť s konštantným ťažiskom )takto skonštruovaná postupnosť hraníc n-uholníkov zrejme bude konvergovať ku kružnici so stredom v danom ťažisku a polomerom 1.
ale limitný útvar keď uvažujeme povedzme fixne položenú jednu stranu stále rovnakej dĺžky (napríklad na xovej osi tak aby stred danej úsečky bol počiatok) a "doplňujeme" ju na pravidelný n uholník so stranou dĺžky ako pôvodná úsečka (napríklad tak, aby príslušná hranica (krivka) ležala v prvom a druhom kvadrante) tak zrejme limitná krivka je skutočne priamka.
snáď som nenapísal blbosť ak áno tak ma opravte prosím


Math is the best !!!

Offline

 

#8 03. 03. 2014 10:25 — Editoval LukasM (03. 03. 2014 10:27)

LukasM
Příspěvky: 2673
Reputace:   155 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ Stýv:, ↑ jarrro:
Chápu. Od začátku mlčky předpokládám, že se bavíme právě o tom případu který popsal jarrro na začátku svého příspěvku, tedy pevný poloměr a postupné dělení středového úhlu. Můj n-úhelník tedy je definován vrcholy $\{\left[r\cdot \sin{\frac{2k\pi}{n}},r\cdot \cos{\frac{2k\pi}{n}}\right]|\,k=1,2,\dots,n\}$, kde r je nějaké kladné reálné číslo, pro všechny členy posloupnosti stejné. Tak jsem otázku pochopil, a o této posloupnosti n-úhelníků mluvím. Uznávám, že byla chyba že jsem to nikde nenapsal a bral to za samozřejmé. Po doplnění tohoto předpokladu je doufám můj příspěvek ok.


↑ coolcake:
Pokud to od začátku myslíš tak jak navrhuje jarrro, tedy že vezmeš nějakou pevnou stranu a k ní přikresluješ n-úhelníky (což mj. znamená, že každý další n-úhelník bude mít jiný střed a poloměr než ten předchozí), tak to nebude tak jak píšu. Poloměry i obsahy n-úhelníků při takové volbě posloupnosti budou konvergovat k nekonečnu, a limitní křivka nebude kružnice. Omlouvám se pokud jsem tě zmátl nepochopením otázky. Měli jsme si konstrukci té posloupnosti ujasnit hned na začátku.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson