Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 11. 2014 (byk7) Kolega Hrnek prosí o vyjádření místní kantory o vyjádření se k jeho bakalářské práci.
09. 11. 2014 (Jel.) Aktuální zadání DIM VŠB a podmínky diskuse na fóru!
17. 10. 2014 (Jel.) Kolega Pavel připomíná, že budou Vánoce. Děkuji!
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použit některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
01. 09. 2013 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie - aktuální

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 02. 2014 00:44

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

Ahojte,

Moje znalosti z matematiky sú značne obmedzené, ale zaujímal by ma názor niekoho vzdelanejšieho na moju otázku. Na strednej som sa stretol so vzorcom na výpočet vnútorného uhla pravidelného n-uholníka.

$\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ$

Potom sme sa začali učiť o limitách a tak som uvažoval, že $\lim_{n\to+\infty } \frac{n-2}{n}\Pi =\Pi$

Znamená to, že pravidelný nekonečno-uholník má vnútorný uhol 180 stupňov? Čiže dalo by sa povedať, že je to priamka? A ak to je priamka, tak platí, že môžeme priamku považovať za spojitú v nekonečne?

Dúfam, že mi niekto pomôže doplniť moju medzeru vo vnímaní. Učitelia sa so mnou o tom nechcú rozprávať :D.


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#2 28. 02. 2014 08:30

LukasM
Příspěvky: 2700
Reputace:   156 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ coolcake:
Pravidelný n-úhelník se zvyšováním n konverguje samozřejmě ke kružnici. Úhel u vrcholu konverguje k $\pi$. To je podle mně tak všechno co se dá říct. Obecně je potřeba dávat pozor, a nezapomínat na to "konverguje". Jakmile začneš počítat s nekonečnem jako s normálním číslem, můžeš dostat všelijaké nesmysly - třeba že kružnice je přímka. To není.
Prasácky řečeno, "pravidelný nekonečno úhelník" by byl kružnice, a ano, úhel sevřený mezi třemi body "vedle sebe" by byl $\pi$. Akorát že ty body "vedle sebe" jsou ve skutečnosti nekonečně blízko vedle sebe (takže žádné body "vedle" tam vlastně nejsou) - a v tom je ten problém.

Trochu mi to připomíná Zenónovy paradoxy, nad těmi se zkus taky zamyslet - mohlo by ti to pomoct při pochopení diferenciálního počtu.

Offline

 

#3 28. 02. 2014 10:11

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM:

Hmh, konverguje ku kružnici? Nemalo by to ale znamenať, že za predpokladu, že ten uhol je nekonečno blízky  $\pi$
a, že strana takéhoto nekonečného pravidelného n-uholníka má dĺžku, ktorá je kladné reálne číslo, že by sa ten nekonečno-uholník nikdy nemal uzavrieť?

Pred nedávnom som sa zamýšľal aj nad Zenónom. Nikdy ma v živote nepredbehla korytnačka :D. Ani som nevidel bežca, ktorý by nedokázal dobehnúť nekonečne krátku vzdialenosť, aj keď z matematického hľadiska to nedokážem vyvrátiť a tým pádom som bol čím ďalej tým viac zmätený a som dodnes ohľadom chápania nekonečna.

Každopádne, rád by som sa ešte spýtal na to vnímanie limity. Viem, že v škole napríklad rátame, že \frac{1}{\infty }=0, čo bude asi nezmysel a toto číslo v skutočnosti len konverguje k nule. Ibaže samotný jav konvergentnosti sa javí, ako ľudské pozorovanie. Nemohlo by to znamenať, že takýto nekonečne "dlhý" jav sa môže uskutočniť za nekonečne "krátku" dobu. Resp ako vieme, že $\frac{1}{\infty }$ je číslo blízke nule. Vyplýva to z nejakých vlastností nekonečna?

Oh nakoniec si vždy poviem, že možno už len samotné slovo nekonečno predurčuje k jeho nepochopiteľnosti vzhľadom ku konečnej výpočtovej kapacite ľudskej mysle alebo strojov. Bol by som rád ak by mi to niekto vyvrátil :)


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#4 02. 03. 2014 20:24

LukasM
Příspěvky: 2700
Reputace:   156 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ coolcake:
"že strana takéhoto nekonečného pravidelného n-uholníka má dĺžku, ktorá je kladné reálne číslo, že by sa ten nekonečno-uholník nikdy nemal uzavrieť"
On se uzavře. Ta "strana" totiž nemá konečnou délku. Celý problém je v tom, že jsi vzal tu limitní hodnotu, a teď s ní počítáš jako s obyčejným číslem.
Ale když si když si zkusíš spočítat obvod n-úhelníka, dostaneš se ke vztahu $O=2nr\sin{\frac{\pi}{n}}$. Limita pro $n\rightarrow +\infty$ je $2\pi r$. Podobně pro obsah dostaneš $\pi r^2$. Ono je to celkem logické, když si uvědomíš jak ty n-úhelníky se zvyšujícím se n vypadají. Problém nastane až v tu chvíli, kdy začneš opravdu mluvit o nekonečnoúhelníku. Pak bys mohl třeba říct - stran je nekonečně mnoho, součet musí tedy být nekonečno. A jsi v háji.

A tam potkáš Zenóna, protože ten je vlastně v tom samém háji. Celý paradox s želvou spočívá v tom, že se ten děj šikovně rozdělí na nekonečně mnoho částí, a pak se prohlásí že nekonečně mnoho částí nemůže trvat konečný čas. A to není pravda. Bylo by třeba spočítat jaký čas trvá n-tý děj, a pak sečíst nekonečnou řadu těch časů. Vyšlo by konečné číslo.

Pokud jde o to dělení nekonečnem. Chápal bych to jako $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}=0$, což říká ten logicky jasný fakt, že pokud jedničku dělím pořád větším a větším číslem, dostávám pořád menší a menší číslo. Přesně řečeno, zvyšováním n se dostanu libovolně blízko nule. Pokud jde o zbytek tvých otázek, nevím jestli je dobře chápu.

Offline

 

#5 02. 03. 2014 20:33

Stýv
Moderátor
Místo: Q
Příspěvky: 4485
Reputace:   151 
Web
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM: podle mě n-úhelník o straně délky $a$ má obvod $na$ a $na\to\infty$... chápeš, kam tím mířím?

Offline

 

#6 02. 03. 2014 20:53

coolcake
Příspěvky: 72
Škola: Gymnázium Metodova Bratislava
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM: Nerozumiem, ale ak by tá strana mala konečnú hodnotu... že by som to celé pozmenil a povedal, že $a \in  N$ tak, by to práve pre mňa logicky nikdy nemala byť kružnica, pretože kružnica nemá vlastné body na priamke. Resp hypoteticky si myslím, že pre body kružnice platí, že dve za sebou (Už ani v euklidovskom priestore) nemajú nikdy zhodné súradnice X,Y. (Dva body A,B vedľa seba v nekonečnej blízkosti majú X aj Y súradnice rozdielne)


Čím viac človek vie, tým viac vie, že nevie...

Offline

 

#7 03. 03. 2014 09:02 — Editoval jarrro (03. 03. 2014 09:07)

jarrro
Příspěvky: 3962
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   183 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ LukasM:↑ coolcake:ku kružnici to konverguje za predpokladu, že postupnosť tých n-uholníkov má čoraz kratšie strany pričom dĺžka strany konverguje k nule. Najjednoduchšie je napríklad uvažovať nejaký fixný obvod povedzme (kvôli peknému polomeru limitnej kružnice) $o=2\pi$ a "tvarovať" ho do tvarov n-uholníkov (povedzme pre jednoduchosť s konštantným ťažiskom )takto skonštruovaná postupnosť hraníc n-uholníkov zrejme bude konvergovať ku kružnici so stredom v danom ťažisku a polomerom 1.
ale limitný útvar keď uvažujeme povedzme fixne položenú jednu stranu stále rovnakej dĺžky (napríklad na xovej osi tak aby stred danej úsečky bol počiatok) a "doplňujeme" ju na pravidelný n uholník so stranou dĺžky ako pôvodná úsečka (napríklad tak, aby príslušná hranica (krivka) ležala v prvom a druhom kvadrante) tak zrejme limitná krivka je skutočne priamka.
snáď som nenapísal blbosť ak áno tak ma opravte prosím


Math is the best !!!

Offline

 

#8 03. 03. 2014 10:25 — Editoval LukasM (03. 03. 2014 10:27)

LukasM
Příspěvky: 2700
Reputace:   156 
 

Re: Vnútorný uhol pravidelného n-uholníku

↑ Stýv:, ↑ jarrro:
Chápu. Od začátku mlčky předpokládám, že se bavíme právě o tom případu který popsal jarrro na začátku svého příspěvku, tedy pevný poloměr a postupné dělení středového úhlu. Můj n-úhelník tedy je definován vrcholy $\{\left[r\cdot \sin{\frac{2k\pi}{n}},r\cdot \cos{\frac{2k\pi}{n}}\right]|\,k=1,2,\dots,n\}$, kde r je nějaké kladné reálné číslo, pro všechny členy posloupnosti stejné. Tak jsem otázku pochopil, a o této posloupnosti n-úhelníků mluvím. Uznávám, že byla chyba že jsem to nikde nenapsal a bral to za samozřejmé. Po doplnění tohoto předpokladu je doufám můj příspěvek ok.


↑ coolcake:
Pokud to od začátku myslíš tak jak navrhuje jarrro, tedy že vezmeš nějakou pevnou stranu a k ní přikresluješ n-úhelníky (což mj. znamená, že každý další n-úhelník bude mít jiný střed a poloměr než ten předchozí), tak to nebude tak jak píšu. Poloměry i obsahy n-úhelníků při takové volbě posloupnosti budou konvergovat k nekonečnu, a limitní křivka nebude kružnice. Omlouvám se pokud jsem tě zmátl nepochopením otázky. Měli jsme si konstrukci té posloupnosti ujasnit hned na začátku.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson