Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 06. 2014 14:05 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:32)

Dia
Zelenáč
Příspěvky: 12
Škola: BMF na FMFI UK
Pozice: student
Reputace:   
 

divergencia integralu

Debata pokračuje zde.

ahoj, vedeli by ste mi pomoct prosim s tymto integralom? mam zistit ci konverguje/diverguje $\int_{}^{}(ln(sinx)/x) dx$
v hraniciach od 0 po pi/2. funkcia nemeni znamienko, je stale zaporna, nie som si ista ci mozem pouzit porovnavacie kriterium s g(x)=-1/(x na alfu), kde mi ale limita vychadza nepekne, iba ked sa alfa=1, vtedy sa rovna nekonecnu a mozem dokazat ze diverguje (pre ine alfy limitu neviem vyratat)... vedeli by mi niekto pomoct ci to je spravne, popripade ako to mam riesit? dakujem

Edit (jelena): k řešení - děkuji kolegům JarrroMarianovi za podrbný rozbor

Offline

 

#2 08. 06. 2014 19:30 — Editoval jelena (12. 06. 2014 12:21)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

Zdravím,

zadání je tak? $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)}{x} \d x$

a vyšetřovat se má u 0+ (jelikož v pi/2 žádný problém není). Já jsem zkusila srovnat s funkci $g(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ (s ohledem na hodnotu funkce sin(x)) a použitím limitního srovnávacího kritéria mi vyšlo, že integrál konverguje - edit: viz další debata v tématu - nevyšetřila jsem důsledně konvergenci integralu k porovnání, tedy můj závěr o konvergenci zadaného integrálu není správný.

Jak to vidíš? Děkuji.

Offline

 

#3 08. 06. 2014 20:39 — Editoval jelena (08. 06. 2014 21:50)

Dia
Zelenáč
Příspěvky: 12
Škola: BMF na FMFI UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: divergencia integralu

ano tak znie znenie, dakujem. nenapadlo ma to porovnat s takou g(x). len som si nie ista, limita f(x)/g(x) mi vychadza 1 a g(x) konverguje? to sa snazim zistit pomocou porovnania toho 1/(x na alfu) a vyjde mi $\lim_{x\to0}\frac{x^{\alpha-3}}{1-\alpha}$ pre alfy vacsie ako 3 mi vychadza konvergencia a pre mensie ako3 zaas divergencia, co robim zle? a co ma este myli je ze porovnavacie kriterium mame iba pre integraly nezapornych funckii a lnx od 0 po 1 je zaporna, tak teraz mam z toho trosku gulas, ospravedlnujem sa

Offline

 

#4 08. 06. 2014 21:17

Dia
Zelenáč
Příspěvky: 12
Škola: BMF na FMFI UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: divergencia integralu

preratala som to este raz a myslim ze lnx/x by mal divergovat... pouzila som obycajnu definiciu nevlastneho integralu a limita k nule mi vysla nekonecno cize by mal divergovat, je tak? tym padom by mal divergovat aj ten zadany?

Offline

 

#5 08. 06. 2014 21:58

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

↑ Dia:

Když to zkouším přes $1/x^{\alpha}$, tak mi to zas vychází konvergentní (ale opět přes limitní). Ohledně znaménka funkce - myslím, že můžeme uvažovat vyšetření funkce v absolutní hodnotě.

$\frac{\ln(\sin x)}{x\cdot \frac{1}{x^{\alpha}}}\cdot \frac{\sin^{\alpha-1}}{\sin^{\alpha-1}}$  toto v limitě půjde k 0? Alespoň mně to tak jde.

No budeme doufat, že nás někdo najde a vyvede na správnou cestu.

Offline

 

#6 08. 06. 2014 22:08

Dia
Zelenáč
Příspěvky: 12
Škola: BMF na FMFI UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: divergencia integralu

ja som to ratala $\lim_{a\to0}\int_{a}^{1}\frac{lnx}{x}dx$ a ci uz per partes alebo substituciou mi to vzdy vyslo nekonecno co by mal byt divergentny integral. len uvadzam moj postup, ale tiez uvitam nazor niekoho tretieho, aby sa to konecne vyriesilo :)

Offline

 

#7 08. 06. 2014 22:34 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:38)

jarrro
Příspěvky: 4946
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: divergencia integralu

pri nekladných funkciách platí trochu obrátené porovnávacie kritérium teda ak väčší integrál diverguje tak diverguje aj menší
problém je len u nuly teda stačí skúmať
$\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{1}\frac{lnx}{x}dx=\lim_{a\to 0^{+}}{\[\frac{\ln^2{x}}{2}\]_a^1}=\lim_{a\to 0^{+}}{0-\frac{\ln^2{a}}{2}}=-\infty$
teda musí aj pôvodný sínusový divergovať lebo na (0,1) je
$0\geq\frac{\ln{\(x\)}}{x}\geq\frac{\ln{\(\sin{\(x\)}\)}}{x}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 08. 06. 2014 22:47

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

↑ jarrro:

děkuji velice (svého času jsem toto řešení vyměnila za borůvkový koláč), tak bych měla nabídnout něco podobného, nebo kolegyně ↑ Dia:.

Jak píše ↑ Dia:, to už jsem také překontrolovala ohledně divergence ln(x)/x, tedy v příspěvku ↑ 2: mám chybně vytvořený závěr, ale funkce k porovnání je zvolena vyhovující - alespoň něco. Děkuji za záchranu.

Offline

 

#9 08. 06. 2014 22:50

Dia
Zelenáč
Příspěvky: 12
Škola: BMF na FMFI UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: divergencia integralu

ta limita by mala vyjst +$\infty $, lebo ked sa blizi k nule tak ln sa blizi do -$\infty$, ci? v kazdom pripade velmi pekne dakujem to o tych zapornych integraloch som nevedela

Offline

 

#10 08. 06. 2014 22:57 — Editoval jarrro (08. 06. 2014 22:58)

jarrro
Příspěvky: 4946
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: divergencia integralu

↑ Dia:ale mocnina logaritmu ide do kladného nekonečna a odčíta sa od nuly okrem toho nekladná funkcia nemôže mať kladný (konečný alebo nekonečný) integrál


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#11 09. 06. 2014 10:11

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

↑ jarrro:

Zdravím, nijak nehoří, v čem se liší důkaz pro $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)}{\sqrt x} \d x$? Našla jsem toto zadání v diplomce o nevlastních integrálech, co se vždy odkazuji (a v Demidovič), když si představím chování (a i nechám vykreslit, což pravda není důkaz), tak nějaký rozdíl nevidím, ale WA už tento integrál vypočte (i ve výsledku je jako konverguje).

Ještě jsem prošla sbírku Eliaše a tento, co jsme diskutovali, je veden jako existující (tedy konverguje) - no řekni.

Offline

 

#12 11. 06. 2014 08:39

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: divergencia integralu

↑ jelena:

Situace týkající se integrálu

$$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln (\sin (x))}{x^{\alpha}}\,\textnormal{d}x,
$$$

kde $\alpha\in\mathbb{R}^+_0$, se má takto:

1. pro $\alpha\in\langle 0,1)$ konverguje,
2. pro $\alpha\in\langle 1,+\infty)$ diverguje do $-\infty$.

V obojím případě lze provést odhady zadaného integrálu pomocí nerovnosti

$$$
\frac{x}{2}<\sin (x)<x,\qquad x\in\left (0,\frac{\pi}{2}\right ).
$$$

Odtud dostaneme nerovnosti

$$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left (\frac{x}{2}\right )}{x^{\alpha}}\,\textnormal{d}x
<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln (\sin (x))}{x^{\alpha}}\,\textnormal{d}x
<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln (x)}{x^{\alpha}}\,\textnormal{d}x,\qquad x\in\left (0,\frac{\pi}{2}\right ).
$$$

ad 1. Pro $\alpha\ge 1$ integrál zcela vpravo diverguje do $-\infty$, odkud již plyne divergence původního integrálu (také do $-\infty$).

ad 2. Pro $\alpha\in\langle 0,1)$ je integrál zcela vlevo konvergentní, odkud plyne omezenost původního integrálu (horním ohraničením je třeba nula). Odtud už není těžké odvodit jeho konvergenci (stačí využít monotonie integrandu na pozorovaném intervalu).


Postupovat je ale možno i podobně, jak je uvedeno v příspěvcích již dávno zapomenutého tématu o "májovém integrálu" zde.

Offline

 

#13 12. 06. 2014 12:45

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

↑ Marian:

Zdravím a děkuji velice!

Prošla jsem své řešení - největší nedůslednost byla, že jsem úplně odbyla vyšetření konvergence integrálu funkce k porovnání - doplnila jsem do editu ↑ příspěvek 2:. A do prvního příspěvku tématu odkaz na Tvůj příspěvek a na příspěvek Jarrro.

Postupovat je ale možno i podobně, jak je uvedeno v příspěvcích již dávno zapomenutého tématu o "májovém integrálu" zde.

také děkuji, ještě jsem prošla Fichtengolce (2. díl), kde vyšetření tohoto integrálu se věnuje z různých pohledů (v části nevlastních). Ve sbírce je k integrálu úvodního tématu chyba ve výsledku (alespoň ve vydání které mám a které patřilo nějakému OcDr. (tajemníkovi ČSAO) - nevěděl bys, co to je za titul? :-))

Děkuji.

Offline

 

#14 12. 06. 2014 15:53

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8546
Reputace:   496 
 

Re: divergencia integralu

Ahoj vespolek.

Je to ještě jednodušší. Předpokládejme, že  $0 < x < \frac{\pi}{6}$ . Odtud postupně

            $0 = \sin 0 < \sin x < \sin \frac{\pi}{6} = \frac {1}{2}$ ,
            $ \ln \sin x < \ln \frac {1}{2} = -\ln 2 < 0$ ,
            $ \frac {\ln \sin x}{x} < - \frac {\ln 2}{x} < 0$ .

Z posledního odhadu je divergence integrálu

                 $\int_0^{\delta} \frac{\ln \sin x}{x}\, \dx   ,    0 < \delta < \frac{\pi}{6}$

již patrná.

Offline

 

#15 12. 06. 2014 19:56

vanok
Příspěvky: 13143
Reputace:   718 
 

Re: divergencia integralu

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Alebo este pokracovat to som naznacil tu http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=17709

Vsak taketo metody sa ucia uz v prvom rocniku vysokej skoly.

Nerozumiem, preco pouzivat archaicke metody, ked existuju na programe ucinne metody, vdaka dokazanym teoremam?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 12. 06. 2014 20:21

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

Zdravím,

↑ Rumburak: děkuji za další přínos k tématu.

↑ vanok: děkuji za upozornění na přesun do Zajímavých. Pokud budeš souhlasit, tak bych k tématu překopírovala z tohoto tématu jen "matematické příspěvky", ať můžete diskutovat věcně.

preco pouzivat archaicke metody

:-) Tím se myslí Fichtengolc z roku 1964? Pořád je považován za jednu z nejlepších učebnic.

Offline

 

#17 12. 06. 2014 20:41 — Editoval vanok (12. 06. 2014 21:01)

vanok
Příspěvky: 13143
Reputace:   718 
 

Re: divergencia integralu

Pozdravujem ↑ jelena:,
Tu knihu nepoznam. Je citatelna in line?
Ale pouzitie pojmu ekvivalencie ( ci skor nepouzitie) je uzitocne (nepochopitelne).
Otvoril som vlakno na didaktiku, o konvergencii integralov.

Tvoja poznamka tykajuce sa presunu dolezitych casti do zaujimavych uloh, je vyborna.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 12. 06. 2014 21:17 — Editoval jelena (12. 06. 2014 21:31)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29828
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: divergencia integralu

Offline

 

#19 13. 06. 2014 10:38

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8546
Reputace:   496 
 

Re: divergencia integralu

↑ vanok:

Ahoj.

Vsak taketo metody sa ucia uz v prvom rocniku vysokej skoly.

Nerozumiem, preco pouzivat archaicke metody, ked existuju na programe ucinne metody, vdaka dokazanym teoremam?

Ano, jde v podstatě o elementární metodu.  Chtěl jsem ji jen připomenout vedle těch pokročileších.

Offline

 

#20 13. 06. 2014 11:26

vanok
Příspěvky: 13143
Reputace:   718 
 

Re: divergencia integralu

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano rozumiem. Je pravda, ze je dobre ukazat viac ciest k rieseniu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson