Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 01. 2015 09:34

stuart clark
Příspěvky: 865
Reputace:   
 

exponential equation

No. of real solution of the equation $1+8^x+27^x = 2^x+12^x+9^x$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 22. 01. 2015 19:33

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: exponential equation


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#3 30. 01. 2015 13:31 — Editoval Marian (30. 01. 2015 13:34)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: exponential equation

↑ stuart clark:

There is only one real solution. I found the following algebraic approach....

Offline

 

#4 08. 02. 2015 13:56

stuart clark
Příspěvky: 865
Reputace:   
 

Re: exponential equation

Thanks ↑ Marian:

Offline

 

#5 15. 02. 2015 14:34 — Editoval Pavel (15. 02. 2015 14:36)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1819
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: exponential equation

↑ stuart clark:

I have another solution that uses a special property concerning of six positive real numbers, see here. (The problem was solved sooner.)

If $a,b,c,x,y,z\in\mathbb R^+$ such that

1. $a\leq x < y < z \leq c$,
2. $a < b < c$,
3. $a+b+c = x+y+z$,
4. $abc = xyz$

then $a=x$, $b=y$, $c=z$.

---

It is clear that $s=0$ is a solution of the equation $1+8^s+27^s=2^s+12^s+9^s$. We show that there is the only solution.

Let $s>0$ and $a=1$, $b=8^s$, $c=27^s$, $x=2^s$, $y=9^s$ and $z=12^s$. All the four properties above are satisfied.

Then $1=2^s$, $8^s=9^s$ and $27^s=12^s$. However, the equations have no solution.

We can deduce the same conlusion, if $s<0$ and $a=27^s$, $b=8^s$, $c=1$, $x=12^s$, $y=9^s$ and $z=2^s$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#6 16. 02. 2015 18:11

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: exponential equation

↑ Pavel:

Amazing solution !


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson