Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 05. 2015 17:33

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

matica relacie

takato srandicka mi napadla:

Nech $M=\{1,2,...,n\}$, nech $\sim$ je nejaka relacia ekvivalencie na $M$ a nech $A$ je matica dana
$A_{ij}=\begin{cases}1 & i\ge j\ \&\ i\sim j\\0&\text{inak}\end{cases}.$
Dokazte, ze $A$ je kladne definitna.

Offline

 

#2 04. 05. 2015 18:15

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:↑ Brano:

Ahoj,
co je to znamená být pozitivně definitní matice, pro matici, která není symetrická?


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 04. 05. 2015 18:41

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

↑ OiBobik:
no vidis aj som zabudol, ze obvykle je v definicii symetrickost - tak v tomto pripade si dodefinujme, ze
$C$ je kladne definitna prave vtedy ked pre vsetky $x\not=0$ plati $x^TCx>0$

Offline

 

#4 05. 05. 2015 00:24

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:
Ahoj, sice to s tématem úplně nesouvisí, ale nestačí pro ověření pozitivní definitnosti (myslím obecně, ne jen pro naší matici) dokázat, že je splněna jen pro ty vektory, které mají jen jednu nenulovou složku? Tedy otázka zní, zda platí pro x=y+z že z (*) $y^TCy>0$ a $z^TCz>0$ již plyne $x^TCx>0$? (znamenalo by to, že výrazy v (*) "převáží" výrazy $y^TCz$ a $y^TCz$ - trochu to připomíná Cauchyho nerovnost, ale zase by to znamenalo, že by pak pozitivní definitnost závisela jen na diagonálních prvcích, což hádám nezávisí.) Pokud to neplatí, tak se nabízí zeslabení - volit x s jen dvěma nenulovými složkami...


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#5 05. 05. 2015 00:38

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

nestcia ani dvojice - napr.
$\begin{pmatrix}3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Offline

 

#6 05. 05. 2015 00:48

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:
A co kdyby ta matice byla jen s nezápornými vstupy? A nebo dokonce navíc ještě trojúhelníková?...


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#7 05. 05. 2015 01:08

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:
Dospěl jsem k


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#8 05. 05. 2015 02:31

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

↑ check_drummer:
a to je presne ono - dokaz toho je tak na riadok :-)

Offline

 

#9 05. 05. 2015 08:08 — Editoval vanok (07. 05. 2015 10:49)

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: matica relacie

Pozdravujem ↑ Brano:,
Ak dobre rozumiem, popisujes dolnu trojuholnikovu maticu, ktorej cleny su 0 alebo 1.(a jej diagonala je jednotkova).
Édit. Nepozozna odpoved opravena vdaka upozorneniu ↑ check_drummer:, dakujem.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 05. 05. 2015 09:00

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

Offline

 

#11 06. 05. 2015 20:33

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

este by som dal taku poznamku k tomu preco je pri skumani definitnosti predpoklad symetrickej matice
(aj ked to je asi viacerim jasne ale tak vznikla na zaciatku k tomu otazka)

Totizto zaujimame sa pri tom o kvadraticku formu co z tej matice vznika t.j.
$M\mapsto x^TMx$
no a kazda matica sa da rozdelit na symetricku a antisymetricku cast - a to konkretne
$M=\underbrace{\frac{M+M^T}{2}}_{S}+\underbrace{\frac{M-M^T}{2}}_{A}$
a vsimnime si ake kvadraticke formy prisluchaju antisymetrickym maticiam
$x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=x^T(-A)x=-x^TAx$ a teda $x^TAx=0$ vzdy, cize $x^TMx=x^TSx$ - alebo inymi slovami vsetkym maticiam s rovnakou symetrizaciou prislucha ta ista kvadraticka forma a teda staci skumat symetricke matice (co sa teda kvadratickych forim tyka).

Ja som zvolil otazku o nesymetrickej matici cisto z estetickeho hladiska.

Offline

 

#12 07. 05. 2015 00:02

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#13 07. 05. 2015 00:03

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: matica relacie

↑ Brano:
Pokud je konvence, že první index v matici onačuje řádky, pak je ta matice dolní trojúhelníková a nikoli horní...
Ale na výsledku to nic nemění.


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#14 07. 05. 2015 10:16

Brano
Příspěvky: 2493
Reputace:   215 
 

Re: matica relacie

↑ check_drummer:
ano
↑ check_drummer:
ano - ja som povodne nad nou rozmyslal ako nad hornou trojuholnikovou a do zadania som omylom (resp. bez rozmyslania) napisal opacnu nerovnost s tym, ze "ved to je jedno"

Offline

 

#15 07. 05. 2015 10:48

vanok
Příspěvky: 12337
Reputace:   699 
 

Re: matica relacie

Pozdravujem,
↑ check_drummer:,
Mas pravdu, napisal som ↑ vanok: priliz rychlo. Tak to opravim.
↑ Brano:,
To je velmi dobra poznamka, a na viac, ak pozreme na (realne) bilinearne formy v literature, skoro vzdy, definitna pozitivna forma je definovana ako pozitvna, ktora na viac splnuje podmienku ako tu ↑ Brano:.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson