Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 10. 2015 22:12

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Těleso kladných reálných čísel

Uveďte příklad binární operace $\odot:\ \mathbb R^+\times\mathbb R^+\longrightarrow\mathbb R^+$ tak, aby algebraická struktura $(\mathbb R^+,\oplus,\odot)$ byla komutativní těleso, je-li operace $\oplus$ definovaná jako obyčejné násobení kladných reálných čísel, tj. $a\oplus b=a\cdot b$, $a,b\in\mathbb R^+$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Pavel)

#2 29. 10. 2015 23:16

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

↑ Pavel:
Vždycky jsem si myslel, že taková věc neexistuje:-)

Offline

 

#3 29. 10. 2015 23:31

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

Nějak mi nedochází, jak by vypadal neutrální prvek vůči o-sčítání?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 30. 10. 2015 00:59 — Editoval vanok (30. 10. 2015 02:04)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

Ahoj  ↑ Pavel:,
Bez akehokolvek overenia :
Ak oznacime prvky  z $\mathbb R^+$ symbolmy $x,y,z,... $ tak pre vsetki prvky, mozeme polozit  $x\odot y=\exp (\ln x \ln y)$, pochopitelne jednotkovy prvok je $e$.
Edit. Ja by som oznacil takto to teleso $\mathbb R^*_+$, aby bolo uplne jasne ze v nom nie je 0.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 30. 10. 2015 08:06 — Editoval Pavel (30. 10. 2015 08:08)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

↑ vanok:

Výborně, jen bych to zjednodušil:

$
x\odot y=x^{\ln y}
$

Operace $\odot$ je komutativní, neutrální prvek je Eulerovo číslo $\mathrm e$, inverzní prvek pro $x$ je $\mathrm e^{\frac 1{\ln x}}$. Všechny zbylé požadované vlastnosti se snadno ukážou.

↑ byk7:

Neutrální prvke vůči $\oplus$ je $1$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#6 30. 10. 2015 08:49

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

↑ Pavel:
Umyselne som to nechal v tej forme, aby sa okamzite videla komutativita operacia $\odot$, ako aj ostatne vlasnosti. ( to je tiez otazka, ze toto teleso vidim ako kopiu klasickeho realneho telesa pouzitim exp a evidentnou adaptaciou operacii telesa... Co tiez ilustruje pojem isomorfismu).
Pochopitelne neutralny prvok pre $\odot$ volam jednotkovy.

Ako su tvoje pramene a motivacie tykajuce sa tejto otazky?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 30. 10. 2015 10:27

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

↑ vanok:

Snahou bylo z daného komutativního tělesa vytvořit komutativní těleso nové tak, že se původní aditivní operace nahradila operaci multiplikativní. Otázkou je jak definovat novou multiplikativní operaci, popř. zda je nutné změnit nosič původního tělesa.

Vyšel jsem z komutativního tělesa kladných reálných čísel $(\mathbb R,+,\cdot)$ s klasickým sčítáním a násobením. Nahradil jsme sčítání násobením a hledal jsem "nové násobení", aby nová struktura byla komutativním tělesem. Stejnou úvahu bychom mohli použít i na výše uvedenou strukturu $(\mathbb R^+,\oplus,\odot)$.

Určete interval $I\subseteq\mathbb R^+$ a binární operací $\boxdot$ definovanou na $I$ tak, aby struktura $(I,\boxplus,\boxdot)$ byla komutativním tělesem, je-li binární operace $\boxplus$ definována předpisem $a\boxplus b=a^{\ln b}$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 30. 10. 2015 11:14 — Editoval vanok (30. 10. 2015 19:03)

vanok
Příspěvky: 12123
Reputace:   694 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

Ano, a na koniec mame isomorphne teleso z klasickym $(\mathbb{R},+,.)$.
Pre istotu napisem pre citatelov podrobnejsie riesenie ako vyssie.
Ak jeho prvky su X,Y,.... Tak exp X= x, exp Y= x ( x,y v telese ↑ Pavel:)
Potom morfismus pre + da $x\oplus y=\exp (X+Y)=\exp X \exp Y=xy$
Pochopitelne potom je nevyhnutne $\exp (XY)=\exp (\ln x\ln y)=x\odot y$
Kde sa okamzite vidi kompatibilita aj z druhym zakonom.....

Osobne som si uvedomil ze studenti casto nechapu ako treba pojem izomorfismu, preto som urobil mega cvicenia pri konstrukcii konecnych telies vdaka ireduktibilnym polynomom.  Kde sa objavia isomorfne telesa. ....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 30. 10. 2015 11:58

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Těleso kladných reálných čísel

↑ vanok:

Máš pravdu, takhle jsem se na to nedíval. Je to vlastně triviální. Takže z toho plyne, že je-li

$a\boxplus b=a^{\ln b}$, pak

$a\boxdot b=\mathrm e^{(\ln a)^{\ln\ln b}}$

Pak je ale nutné zúžit nosič tělesa na interval $I=(1,+\infty)$. Tj. $(I,\boxplus,\boxdot)$ je komutativní těleso, nulový prvek je $\mathrm e$ a jednotkový prvek je $\mathrm e^{\mathrm e}$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson