Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 11. 2015 21:54

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Matematická indukce

Ahoj,
mám problém dokázat indukcí, že $\(\frac{n+1}{2}\)^{n}>n!$ pro $n\ge 2$.
Díky za rady

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) holyduke)

#2 03. 11. 2015 22:11 — Editoval Sherlock (03. 11. 2015 22:23)

Sherlock
Příspěvky: 851
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   32 
 

Re: Matematická indukce

řešilo se třeba zde

Nebo můžeš třeba postupovat takto: když se ti podaří dokázat $\frac{L(n+1)}{L(n)}>\frac{P(n+1)}{P(n)}$
znamená to, že levá strana roste rychleji, než pravá, a tedy nerovnost bude vždy platit.

Bude tam potřeba využít předpoklad $(1+\frac{1}{n})^{n}>2$ (tohle se dá jednoduše dokázat Bernoulliho nerovností)

Offline

 

#3 03. 11. 2015 22:20 — Editoval Brano (03. 11. 2015 22:20)

Brano
Příspěvky: 2534
Reputace:   219 
 

Re: Matematická indukce

$\frac{\(\frac{n+1}{2}\)^{n}}{\(\frac{n}{2}\)^{n-1}}=\frac{n}{2}\(\frac{n+1}{n}\)^n=\frac{n}{2}\(1+\frac{1}{n}\)^n\ge \frac{n}{2}2=\frac{n!}{(n-1)!}$
a teda
$\(\frac{n+1}{2}\)^{n}\ge\frac{\(\frac{n}{2}\)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot n!$
a prvy clen bude z indukcneho predpokladu $\ge 1$

EDIT: neskoro :)

Offline

 

#4 03. 11. 2015 22:37

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Matematická indukce

jasný, díky

Offline

 

#5 03. 11. 2015 23:05 — Editoval Sherlock (03. 11. 2015 23:14)

Sherlock
Příspěvky: 851
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   32 
 

Re: Matematická indukce

↑ Brano:

Jsem objevil ještě hezčí a jednodušší důkaz:

Platí následující nerovnost(AG):
$\frac{\sum_{i=1}^{n}i}{n}> \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}i}$

Pro součet aritmetické posloupnosti platí: $\frac{\sum_{i=1}^{n}i}{n}=\frac{1}{2}(n+1)$.

Důkaz hotov.

Offline

 

#6 03. 11. 2015 23:37

vanok
Příspěvky: 13150
Reputace:   718 
 

Re: Matematická indukce

Ahoj ↑ Sherlock:,
Presne to iste co som pripomenul tu  v #6
http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=86167
No vsak to nie je dokaz indukciou.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson