Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 02. 2016 23:49

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4458
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Determinant

Buď $A$ reálná čtvercová matice řádu $n$ splňující $A^3=4I_n-3A$. Určete $\det\(A+I_n\)$.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#2 16. 02. 2016 18:03 — Editoval vanok (16. 02. 2018 16:30)

vanok
Příspěvky: 12750
Reputace:   714 
 

Re: Determinant

↑ byk7:,
Ahoj,
Osobne som najprv hladal matice A, ktore vyhovuju danej rovnici.
Evidentne, pre kazde n, matica $I_n$ vyhovuje.
Potom mozme vysetrit problem pre kazde n.  ( co som zatial nerobil)

Od tial sa potom lahko urci hladany determinant.


A ty si nasiel ake riesenie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 10. 02. 2018 17:08

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: Determinant

Vyjadrenim matice A ve tvaru $A=P\Lambda P^{-1}$ a dosazenim do uvedene rovnosti zjistime jaka mohou byt vlastni cisla A. To lze potom vyuzit pri vypoctu toho determinantu a vychazi mi, ze by to melo byt $2^n$.

Offline

 

#4 15. 02. 2018 15:51 — Editoval vanok (26. 02. 2018 11:11)

vanok
Příspěvky: 12750
Reputace:   714 
 

Re: Determinant

Ahoj ↑ laszky:,
Napis podrobne tvoje riesenie.  Dakujem.

Mala otazka.  Co by si povedal o komplexnej matici radu 1 takej, ze $A=(-\frac 12+i\frac {\sqrt {15}}2)$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 24. 02. 2018 11:02 — Editoval vanok (24. 02. 2018 11:04) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicifa

#6 08. 03. 2018 23:42

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: Determinant

↑ vanok:

Sel jsem na to takto:

Pokud je $A=P\Lambda P^{-1}$ Jordanuv rozklad matice $A$, potom $P(\Lambda^3+3\Lambda-4I_n) P^{-1}=0$. Takze  $M=\Lambda^3+3\Lambda-4I_n$ je podobna nulove matici a ma tedy vsechna vlastni cisla nulova. Protoze je M zaroven horni trojuhelnikova,  ma na diagonale vlastni cisla, tj nuly. Vlastni cisla matice $\Lambda$ jsou tedy resenim rovnice $\lambda^3+3\lambda-4=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+4)=0$. Proto ma $\Lambda$ na diagonale bud jednicky, nebo pary komplexnich cisel $-\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{15}$. Matice $\Lambda+I_n$ ma na diagonale bud dvojky, nebo pary komplexnich cisel $\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{15}$. Soucin tohoto paru komplexnich cisel je $\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$. Takze $\det(\Lambda+I_n)=2^n$. Proto je i $\det(A+I_n)= (\det P)\det(\Lambda+I_n)(\det P^{-1})=2^n$.

Vanok: Na tu komplexni matici ti nepovim nic. :-)

Offline

 

#7 09. 03. 2018 00:25 — Editoval vanok (09. 03. 2018 13:37)

vanok
Příspěvky: 12750
Reputace:   714 
 

Re: Determinant

Pozdravujem ↑ laszky:,
Ano pre realne matice je to jednoduche. ( pouzitim Cayley Hamilton)


Ale zatial nemam  vseobecnu odpoved v inych situaciach.   ( pre ine télesa)
No kolega ↑ byk7: neupresnil ci treba vysetrit aj take ine situacie.

Édit. Cf. Upresnenie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 09. 03. 2018 00:27

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: Determinant

↑ vanok:

V zadani je ale "Bud A realna..." :-)

Offline

 

#9 09. 03. 2018 00:44

vanok
Příspěvky: 12750
Reputace:   714 
 

Re: Determinant

Ano, ale tie ine situacie mozno su mozno o mnoho tazsie a zaujimavejsie ...
Mozno sa k tomu po case vratime.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson