Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 07. 2016 15:37 — Editoval FrantaVrabel (10. 07. 2016 17:36)

FrantaVrabel
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Skládačka čísel - důkaz

Ahoj všem.

Mohl bych znalé poprosit o důkaz toho, že ne všechny počáteční kombinace čísel této dětské skládačky jdou složit?

Pokud bude vstupní kombinace 1 - 3 - 2 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 (tedy oproti obrázku prohozeny čísla 2 a 3), pak se již nelze dostat do cílové kombinace (dle obrázku). Ano, aby se docílilo mé kombinace 1 - 3 - 2... je nutné skládačku rozebrat:-).

Brutální silou jsem si nemožnost složení ověřil. Chtěl bych ale nalézt důkaz, důvod (nemusí být přímo matematický, stačí selská logika) toho, proč se z kombinace 1 - 3 - 2 ... nelze dostat do kombinace 1 - 2 - 3 ...

Děkuji.

František.

Offline

 

#2 10. 07. 2016 16:01

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1860
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   111 
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

↑ FrantaVrabel:
Ahoj.
Tadz je jedna varianta> https://en.wikipedia.org/wiki/15_puzzle

Píše se tam zhruba toto:
V každém tahu se posune vzdálenost prázdného pole od místa, kde má být.
Každý tah -- přehození pozic dvou políček je aplikace transpozice.
Odtud plyne, že pokud součet vzdálenosti prázdného pole a parity permutace celé hry (9 polí) je lichý, pak ta hra nemá řešení.

Údajně platí i obrácená implikace. Proč, to nevím.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#3 10. 07. 2016 16:48

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

Ne všechny nejdou složit?

Offline

 

#4 10. 07. 2016 18:28

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1860
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   111 
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

Tak konkrétně,
132
456
789
není řešitelná pozice.
- Vzdálenost 9 od místa, kde má být, je 0.
- Permutace celé skládačky odpovídá přehození čísel 2,3. Parita této permutace je 1 (berme to tak, že liché permutace mají paritu 1, sudé 0).
1+0=1 je liché. Do zadané pozice se tudíž nelze dostat z vyřešené pozice (a obráceně).

↑ misaH: Nerozumím otázce. Je tam moc záporů.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#5 10. 07. 2016 19:25 — Editoval misaH (10. 07. 2016 19:26)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

↑ Andrejka3:

Veď práve - to napísal pôvodne zadávateľ a potom to bez komentára zmenil, ako pozerám.

Offline

 

#6 11. 07. 2016 10:49

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1860
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   111 
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

↑ misaH:
Aha chápu.

Škoda, že nemám zpětnou reakci. Jestli to bylo příliš složité odůvodnění. Jestli je třeba něco doplnit k důkazu, nebo má někdo jiné vysvětlení. Kdyby někdo věděl, proč platí i ta obrácená implikace, napište sem, nebo mi do PM.

Dík.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 31. 08. 2016 20:44

VaK
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

Dobrý den.
Matematická teorie "Patnáctky" (na základě teorie permutací
a grup, včetně jejich vysvětlení) je spolu s dalšími hlavolamy
(např. Rubikova kostka) popsána v knize: Jiří Tůma, Matematické
hlavolamy a základy teorie grup, Praha 1988, edice Škola
mladých matematiků.
Je to dobrá inspirace ke studiu těchto teorií.
Knížku jsem sehnal v antikvariátu, ale určitě se dá půjčit
v nějaké dobré knihovně.
S pozdravem VaK.

Offline

 

#8 01. 09. 2016 23:16

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

↑ Andrejka3:

>> 789 není řešitelná pozice.

to je neřešitelné zcela určitě - devítka tam totiž vůbec není :-)


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#9 02. 09. 2016 09:40

Honzc
Příspěvky: 3667
Reputace:   208 
 

Re: Skládačka čísel - důkaz

↑ FrantaVrabel:
Tady vysvětlení (důkaz) pro patnáctku:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson