Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 10. 2016 10:34

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Positive polynomial

Prove or give a counterexample, that every polynomial with positive values (only) in two variables takes its minimum in R^2.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 01. 11. 2016 17:30

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: Positive polynomial

Hi, interesting problem. My guess is that the assertion is true. Eg when it can be proved that we can "reach" the point in infinity where the infimum takes place by polynomial substitution x:=f(t),y:=g(t) into the given polynomial P(x,y), then the assesrtion will be proved because we will get polynomial with only one variable (t) and it cannot have a constant limit at infinity.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#3 01. 11. 2016 17:38

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4455
Škola: PřF MUNI, konzervatoř Brno
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Positive polynomial

:-)

Consider $P(x,y)=x^2+(xy-1)^2$, we have $x^2\ge0,(xy-1)^2\ge0$, thus $P(x,y)\ge0$, but we cannot have $x=0\wedge xy=1$, so $P(x,y)\gneqq0$.

Then
$\lim_{t\to\infty}P\(\frac{1}{t},t\)=0$
so we can get arbitrarily close to zero.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 02. 11. 2016 15:25 — Editoval check_drummer (02. 11. 2016 15:26)

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: Positive polynomial

↑ byk7:
I also tried to find something like this - sum of squares - but I failed...


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson