Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 11. 2016 23:37 — Editoval liamlim (16. 11. 2016 23:37)

liamlim
Příspěvky: 192
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Součet nekonečné řady

Ahoj! Mám pro zájemce krásný příklad s kratičkým odvozením.

1) Dokažte, že jestliže platí

$a_0 = 3$,
$a_{n+1} = a_n^2-a_n+1$.

Pak
$\frac{1}{2} = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{a_k}$.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) liamlim)

#2 17. 11. 2016 20:03 — Editoval Anonymystik (17. 11. 2016 20:19)

Anonymystik
Příspěvky: 529
Reputace:   45 
 

Re: Součet nekonečné řady

↑ liamlim: Tak nejprve ukážu pomocné lemma: pro všechna n platí následující vztah
$a_{n+1} = 1 + 2 a_0 a_1 ... a_n$
Důkaz se provede indukcí - dosaďme z rekurentního předpisu
$a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1$
Nyní použijme indukční předpoklad a upravujme:
$a_{n+1} = (2 a_0 ... a_{n-1} + 1)^2 - (2 a_0 ... a_{n-1} + 1) + 1 = $
$= 4 (a_0 ... a_{n-1})^2 + 2a_0 ... a_{n-1} + 1 =$
$=2a_0...a_{n-1}(2a_0...a_{n-1} + 1) + 1 =$
$=2a_0...a_{n-1}a_n + 1$
Krok pro $n=0$ e ověří triviálně.

Dále ukážu, že částečný součet řady je roven
$\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{a_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2a_0 a_1 ... a_N}$

Důkaz provedu opět indukcí - dokáže platnost tvrzení i pro N+1:
$\sum_{k=0}^{N+1} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{N+1}}$
Dosadím z indukčího předpokladu:
$\sum_{k=0}^{N+1} \frac{1}{a_k} = \bigg( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 a_0 a_1 ... a_N} \bigg) + \frac{1}{a_{N+1}} = $
$= \frac{1}{2} - \frac{a_{N+1} - 2a_0 ... a_N}{2 a_0 ... a_N a_{N+1}} =$
a dle předchozího lemmatu mohu místo čitatele ve druhém zlomku dosadit 1:
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2 a_0 ... a_N a_{N+1}}$.
Krok pro $N=0$ se opět ověří triviálně.

Je snadné nahlédnout, že posloupnost $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ roste nade všechny meze, proto zlomek $\frac{1}{2a_0 a_1 ... a_{N}}$ jde k nule, tím pádem posloupnost částečných součtů konverguje k hodnotě $\frac{1}{2}$.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson