Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 12. 2016 17:22

pb1809
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Konvergence řady

Ahoj,
potřeboval bych zjistit, zda je tato řada konvergentní:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}*(\sqrt{k^{2}+2}-k)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\sqrt{k^{2}+2}}{k}-1$

Pravděpodobně to nepůjde přes D`Alembertovo kritérium.
Snažil jsem se na to jít přes srovnávací kritérium, ale moc nevím, jak na to.

Předem děkuji za pomoc.

Offline

 

#2 30. 12. 2016 18:13

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Konvergence řady

tu závorku uprav pomocí vzorečku pro rozdíl odmocnin (http://wiki.matematika.cz/index.php/U%C … orce#u2-1a)

Offline

 

#3 30. 12. 2016 18:49 — Editoval pb1809 (30. 12. 2016 19:43)

pb1809
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Konvergence řady

↑ Stýv:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}+2}+k)}$
Tudíž jsem zkoušel srovnávací kritérium:
$\frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}+2}+k)}\le \frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}}+k)}=\frac{1}{k^{2}}$

Je tento postup srovnávání správný?:
$lim\frac{\frac{2}{k*\sqrt{k^{2}+2}}}{\frac{1}{k^{2}}}=lim\frac{2k^{2}}{k^{2}*(\sqrt{1+\frac{2}{k^{2}}}+1)}=\frac{2}{2}=1\in R$
Protože výsledek náleží do R čísel, znamená to, že celá posloupnost je konvergentní?

Je tento postup správný?

Offline

 

#4 30. 12. 2016 23:57

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Konvergence řady

z čitatele $lim\frac{\frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}+2}+k)}}{\frac{1}{k^{2}}}$ ti vypadlo jedno $k$, ale jinak je to ok

Offline

 

#5 31. 12. 2016 00:05

pb1809
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Konvergence řady

↑ Stýv:Děkuji moc.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson