Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 01. 2017 22:36 — Editoval Pritt (09. 01. 2017 23:32)

Pritt
Příspěvky: 283
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Kvadriky

Zdravím,

mám kvadriku $x_1^{2} + 2x_1 x_2 + x_2^{2} -4x_1-8x_2 + 10 = 0$.

Její normální tvar je $z_1^2 - 2z_2 = 0$.

Transformační vztah je
$\begin{pmatrix} x_1 \\ \\ x_2  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ \\0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} 
  \begin{pmatrix} z_1 \\ \\ z_2  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2}  \end{pmatrix}$

Ohnisko této paraboly v normálním tvaru by mělo být v bodě $[0, \frac{1}{2}]$.

Mám problém s tím, jak nakreslit parabolu v původním tvaru. Myslel jsem si, že pokud například budu chtít zjistit vrchol původní paraboly, dosadím pouze souřadnice vrcholu v normálním tvaru $V = [0, 0]$ do transformačních vztahů a dostanu původní vrchol. To ovšem nekoresponduje s obrázkem v učebnici.

Otázka tedy zní: Jak zjistit pravý tvar této paraboly?

Díky za pomoc.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Pritt)

#2 11. 01. 2017 08:52

vanok
Příspěvky: 11552
Reputace:   651 
 

Re: Kvadriky

Ahoj ↑ Pritt:,
Je viacej method.
Mozes nast transfomaciu, ktora ta zbavi clenu z x1x2 ---> otocenie
Potom taku co ta zbavi linearnych clenov---> posunutie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 11. 01. 2017 09:05

Pritt
Příspěvky: 283
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Kvadriky

↑ vanok:

Potom transformace, kterou jsem uvedl, by měla zahrnovat obojí, není to tak?

Offline

 

#4 11. 01. 2017 09:26 — Editoval Pritt (11. 01. 2017 09:27)

Pritt
Příspěvky: 283
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Kvadriky

První transformace,

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

převádí kvadriku na tvar

$(y_1 - 2)^2 -2(2y_2-3) = 0$

A pro odstranění (v tomto případě absolutního členu) další transformace $\begin{pmatrix} x_1 \\ \\ x_2  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ \\0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} 
  \begin{pmatrix} z_1 \\ \\ z_2  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2}  \end{pmatrix}$

převede kvadriku na normální tvar.

Nevím jak docílit takového grafu.



Pokud bych například chtěl transformovat vrchol $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

potom dostávám, že $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2}  \end{pmatrix}$

tedy bych očekával, že zde bude vrchol paraboly.

Offline

 

#5 11. 01. 2017 12:06 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:07)

Brano
Příspěvky: 2450
Reputace:   210 
 

Re: Kvadriky

Transformacie kvadrik si si vypocital spravne, problem je v tom, ze suradnice oniska sa netransformuju linearne - to sa da nahlaidnut z takehoto jednoducheho prikladu:

Ohnisko paraboly $y=\frac{x^2}{4}$ je v bode $A=(0,1)$. Ked teraz urobis transformaciu $x=2x',\ y=y'$ tak dostanes parabolu $y'=x'^2$ ktora ma ohnisko v bode $\(0,\frac{1}{4}\)$ pricom bod $A$ sa transformuje na $A'=(0,1)$, cize nie na ohnisko.

PS: vrchol sa pri linearnej transformacii transformuje na vrchol. [EDIT: to nie je pravda, vid dalej]

Offline

 

#6 11. 01. 2017 13:09

vanok
Příspěvky: 11552
Reputace:   651 
 

Re: Kvadriky

Ahoj ↑ Pritt:,
Ja som ti chcel, len prizvukovat, ze ak rozdelis transformaciu na dve casti, mozes lepsie kontrolovat co sa deje, s bodmy, ktorych premiestnenie chces sledovat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 11. 01. 2017 22:32

Pritt
Příspěvky: 283
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Kvadriky

↑ Brano:↑ vanok:

Dobrá, tak jsem tedy postupoval postupně. Pokud se vrchol lineární transformací transformuje na vrchol, potom tedy pokud jsem u otočené paraboly $(y_1 - 2)^2 -2(2y_2-3) = 0$ našel vrchol $V_y = [2, 3/2]$, potom pokud bych chtěl zjistit opravdový vrchol, tak využitím tohoto vztahu: $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

Tedy

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \end{pmatrix}$

Což by teda odpovídalo. Špatně jsem si vykládal pojem "vrchol paraboly". Myslel jsem, že vrchol je bod, který leží na pomyslné "ose souměrnosti" paraboly. Průsečíky s osami jsou samozřejmostí, ale to mi ale pořád k určení tvaru paraboly nestačí. Pořád bych potřeboval zjistit ohnisko, nebo kterým bodem prochází ona osa souměrnosti. Ale jak na to?

Offline

 

#8 12. 01. 2017 00:45 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:48)

Brano
Příspěvky: 2450
Reputace:   210 
 

Re: Kvadriky

vrchol lezi na osi sumernosi - dalsi problem vsak je ze  transformacia co si napisal nezacahovava uhly - t.j. obsahuje skosenie. Teda transformuje bod paraboly na bod paraboly, ale nie nutne vrchol na vrchol.
[teda moja predchadzajuca poznamka v PS bola nespravna]
Keby si nasiel taku, co obsahuje iba rotacie, translacie, skalovanie (v oboch suradniciach rovnake - ten moj priklad nebol taky) a zrkadlenie, tak ti bude zachovavat aj vrchol a os sumernosti.
Stlpce matice by mali byt na seba kolme a mat rovnaku dlzku; teda jedna z nasledovnych
$\begin{pmatrix}a & -b\\ b & a\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$

ja by som skusil takto - zmiesany clen vybavis prvym doplnenim na uplny stvorec, t.j. substituciou $y_1=x_1+x_2$ tak druhu zvol $y_2=x_1-x_2$ a potom linearny clen s $y_1$ vybavis vhodnym posunutim $y_1$ a konstantny clen posunutim $y_2$.

Offline

 

#9 12. 01. 2017 02:23

vanok
Příspěvky: 11552
Reputace:   651 
 

Re: Kvadriky

Alebo inac napisane, urobit najprv otocenie take,(pociatok konservovany) aby zmyzol clen $X_1X_2$
$x_1=(\cos {\theta}) X_1-(\sin {\theta}) X_2\\x_2=(\sin {\theta})X_1+(\cos{\theta })X_2$

V druhej etape sa zbavis linearnych clenov.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson