Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 12. 2009 21:26

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

Mějme (obecné) funkce x(t), y(t) o nichž předpokládejme pro další úpravu "vše potřebné" (spojitost derinací do libovolného požadovaného řádu atd.)
Prosím o vyjádření, zda je možno zjednodušit následující výraz:
$\int_{t1}^{t2}\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{((x'(t))^2+(y'(t))^2)^{\frac{3}{2}}}dt$

Motivační poznámka:
K tomuto výrazu jsem dospěl při řešení následujícího problému:
Nechť je dána křivka K (řekněme uzavřená) dána parametrickou rovnicí x(t), y(t) pro t mezi t1 a t2. Ta má délku řekněme L. Vytvořme z této křivky K křivku M, která je od křivky K vzdálena d (pokud jde např. o kružnici, pak vznikne kružnice s poloměrem o d větším).
(Pozn: hodnotu d není možné volit libovolně, ale musí být dostatečně malé - v závislosti na chování křivky K - konkrétně musí být d menší než argument integrálu výše a sice pro každé t)
Potom délka křivky M je větší než délka křivky K o "d krát hodnota integrálu výše" (čili tento nárust je lineární v d).

(Informace v posledním odstavci jsou bez záruky, protože jsem je odvodil dnes bez důkladnější kontroly.)

Díky za informace, zda integrál výše je možné nějak zjednodušit.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#2 18. 12. 2009 23:11 — Editoval BrozekP (18. 12. 2009 23:12)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

Zkoušel jsem si s tím hrát bez jakéhokoliv ověřování předpokladů. Nejprve jsem zavedl substituci $z=\frac{y'}{x'}$, čitatel se pak dá zapsat jako $z\cdot(x')^2$. Ve jmenovateli jsem nahradil $y'=yx'$ a pak krátil $(x')^2$. Potom jsem ve jmenovateli nahradil $x'=\frac{y'}{z}$ a integroval per partes. Za předpokladu, že koncový bod je shodný s počátečním (i s derivacema), tak dostanu po úpravách

$-\int_{t1}^{t2}\frac{x'(t)y''(t)}{(y'(t))^2\cdot\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}dt$

Ty úpravy jsou takhle určitě špatně, ale možná bychom se nějakým přesnějším způsobem dostali ke stejnému nebo alespoň podobnému výsledku. To by se muselo ověřit.

Offline

 

#3 26. 12. 2009 19:08

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

Tak nakonec jsem udělal ve výpočtu chybu - výraz se zjednodušil tím, že jmenovatel není umocněn na 3/2, tj. integrál vypadá takto:

$\int_{t1}^{t2}\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$

Začal jsem si s ním hrát, ale na nic jsem nepřišel.

Díky za nápady, jak integrál zjednodušit.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#4 26. 12. 2009 19:52

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

(Ještě mě napadlo, zda by nešlo použít polární souřadnice - ovšem stále se mi nedaří výraz upravit.)


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#5 26. 12. 2009 20:09

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

↑ check_drummer:

Seš si jistý, že jsi neudělal chybu teď? Když jsem psal svůj první příspěvek, tak jsem si ten vztah odvodil také a myslím, že mi vyšel stejně, tedy s 3/2. Ale také je možné, že jsem udělal stejnou chybu jako ty, jaká to byla chyba?

Odhaduji, že tady polární souřadnice nepomohou, nevidím zde žádný důvod, proč by měly.

Offline

 

#6 26. 12. 2009 22:41

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

↑ BrozekP:

Jsem si jistý, že předtím jsem to měl špatně. :-) Musí se totiž celý výraz vynásobit ještě odmocninou (abych mohl vytvořit dva výrazy, které integruju zvlášť, přičemž jeden z nich dá za výsledek délku původní křivky) a tím se exponenty 1/2 v čitateli a 3/2 ve jmenovateli zkrátí a ve jmenovateli dostanu první mocninu.

Teď jsem po substituci z = (y' / x') dospěl až k:
$\int_{t1}^{t2}\frac{z'(t)}{1+(z(t))^2}dt$
což už vypadá zajímavě.

Polární souřadnice jsem chtěl použít po substituci u = x', v = y' a ve jmenovateli budu mít $r^2$


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#7 26. 12. 2009 23:21 — Editoval check_drummer (27. 12. 2009 10:10)

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

check_drummer napsal(a):

↑ BrozekP:

Polární souřadnice jsem chtěl použít po substituci u = x', v = y' a ve jmenovateli budu mít $r^2$

Následuje hypotetická úvaha se kterou je možno a je žádoucí polemizovat:

A opravdu, potom ($u = rcos\phi, v = rsin\phi$) dostanu, že hodnota integrálu je $\int_{t1}^{t2}\phi'(t)dt = \phi(t2) - \phi(t1)$ Což je rozdíl fází (úhlů) počatečního a koncového bodu křivky [u, v] (pokud bude křivka uzavřená, bude rozdíl 2pi).

PS: Myslím si ale, že to není zcela správně - správně to bude jen v případě, že integrovaná funkce nemění znaménko. (?)

V opačném případě asi musíme nasčítat úhly mezi všemi změnami směru (extrmy funkce $\phi$), tj. funkce se může "vracet" proti směru původního pohybu a úhel o kolik se vrátila musíme rovněž přičíst (dle mého názoru). $\phi$ lze vyjádřit jako $\phi(t) = arctg(\frac{x'(t)}{y'(t)})$. Tedy stačí zjistit lokální extrémy $\phi$ a posčítat absolutní hodnoty rozdílů hodnot $\phi$ v bodech sousedních extrémů.

Edit:
Hledáme extrémy $\phi$ a po zderivování dostaneme původní integrovaný výraz! Jehož nulové body jsou místa inflexních bodů vyšetřované křivky.

Vše vypadá na to, že uvedený integrál je roven 2pi vždy, je to opravdu tak?

Možná by u tohoto problému mohla pomoci komplexní analýza (?)

Zajímavé by bylo slyšet názor, zda tato úvaha není naprosto zcestná.

Díky


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#8 27. 12. 2009 00:35 — Editoval BrozekP (27. 12. 2009 00:46)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

Tak jsem udělal stejnou chybu. Měl jsem na papíře výrazy s $\textrm{d}l$ a když jsem viděl, že mi to vyšlo stejně jako tobě, tak už jsem dál nepřemýšlel a začal se to snažit upravovat jako bych tam měl $\textrm{d}t$. :-)

Tak výsledek je nakonec velmi pěkný a vlastně se dal i čekat. Pokud křivka nebude uzavřená, tak úhly $\phi$ určíme podle

$\phi=\textrm{arctan}\frac{y'(t)}{x'(t)}$

Ty polární souřadnice byl dobrý nápad, nenapadlo mě je použít na derivace.

Edit: Myslím, že je vše ok i když $\phi'$ mění znaménko. (Edit: Vlastně ne, při tom mém odvození integrálu jsem použil kroky, při kterých mi vadí body, kde je nulová křivost. Ale čekal bych, že to bude platit.)

Offline

 

#9 27. 12. 2009 01:12

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

↑ BrozekP:

Tak jsme se zdá se ubírali podobnou cestou.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#10 27. 12. 2009 09:46

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

Zjištění: podmínka na nulovost výrazu $x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)$ znamená, že zde má funkce inflexní bod. Což je ale logické - protože pro konkávní funkce je čitatel integrované funkce záporný a tedy přestože nová křivka je "dále" od počátku než křivka původní, tak na konkávním úseku je její délka kratší - jak je vidět např. u vyduté části kružnice.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#11 09. 02. 2017 16:25 — Editoval check_drummer (11. 02. 2017 18:17)

check_drummer
Příspěvky: 2364
Reputace:   64 
 

Re: zjednodušení integrálu obecné funkce (prodloužení křivky)

↑ Pavel Brožek:
Tak nakonec ve jmenovateli není exponent ani 2, ani 3/2, ale 1 - a pak vše vychází.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#12 09. 02. 2017 17:00 Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Chyba o řádek výše

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson