Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 02. 2017 18:00 — Editoval slender (10. 02. 2017 18:00)

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Distribuční funkce náhodné veličiny

Ahoj,
snažím se vyřešit tuto úlohu:

Nechť $\xi_1,\xi_2,\dots$ jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rozdělením:

$P[\xi=k]=\frac{1}{10}$ pro $k=0, 1, 2, \dots, 9$

Definujme náhodnou veličinu $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$.

Určete distribuční funkci náhodné veličiny X.


Poradil by mi prosím někdo, jak začít?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) slender)

#2 10. 02. 2017 19:49

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

začni tím, že si uvědomíš, co znamená zápis $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$

Offline

 

#3 11. 02. 2017 14:37 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:37)

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Jediné na co jsem zatím přišel je, že pro zjištění rozdělení bych měl vycházet z věty o rozdělení součtu náhodných veličin:

Pro součet diskrétních náhodných veličin $Z=X+Y$ platí:
$P[Z=z]=\sum_{x}{P[X=x,Y=z-x]}$

Nevím ale, jak ji přesně využít u nekonečného součtu, když jsou navíc náhodné veličiny násobeny $\frac{1}{10^i}$.

Offline

 

#4 11. 02. 2017 14:42 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:44)

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Pak mě ještě napadl jiný pohled na $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$ a to takový, že $i$-tou cifru $X$ tvoří $\xi_i$, tedy že $X$ nabývá hodnot v intervalu $[0,0.\overline{9}]$.

Offline

 

#5 11. 02. 2017 15:05

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: obvykle se píše [0,1], ale jinak je to dobrý začátek. pokud nemáš představu, o jaké konkrétní rozdělení na intervalu [0,1] se jedná, zkus si určit třeba P(X<=0,374)

Offline

 

#6 11. 02. 2017 15:27 — Editoval slender (11. 02. 2017 15:47)

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Díky, zatím jsem dospěl jen k tomuhle:

$P[X\leq x]=P[\xi_1<x_1]+P[\xi_1=x_1,\xi_2<x_2]+P[\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\xi_3<x_3]+\dots$ kde jako $x_i$ značím $i$-té desetinné místo $x$.

Šlo by to tedy ještě přepsat následovně, abych se zbavil $\xi_i$:
(edit, napsal jsem to špatně)

$P[X\leq x]=\frac{x_1}{10}+\frac{x_2}{10^2}+\dots=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x_i}{10^i}$

Teď pro změnu přemýšlím nad tím, jak vyjádřit $i$-té desetinné místo $x$ rozumněji, než $x_i=\left\lfloor x\cdot 10^i\right\rfloor-\left\lceil(x\cdot10^{i-1})\right\rceil\cdot10$.

Offline

 

#7 11. 02. 2017 15:41 Příspěvek uživatele slender byl skryt uživatelem slender. Důvod: Napsal jsem tam nesmysl.

#8 11. 02. 2017 15:48

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Jasně, tím pádem $P[X\leq x]=x$ a zbytek už jde dopočítat snad poměrně snadno, díky moc. :)

Offline

 

#9 11. 02. 2017 15:59 — Editoval slender (11. 02. 2017 16:00)

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Tak jen abych uzavřel téma, dopočítám i samotnou distribuční funkci:

$\int_{-\infty}^x f(u)\mathop{}\!\mathrm{d}u=0+\int_0^{x}u \mathop{}\!\mathrm{d}u=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^x=\frac{x^2}{2}$

A samozřejmě díky moc Stývovi za navedení ke správnému řešení.

Offline

 

#10 11. 02. 2017 16:07

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: no to zase prrr! $P[X\leq x]=x$ je správně, ale to přece není hustota

Offline

 

#11 11. 02. 2017 16:08 — Editoval Jj (11. 02. 2017 16:09) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Není nutné.

#12 11. 02. 2017 16:23

slender
Příspěvky: 150
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Ugh, no jo vlastně. Takže distribuční funkce $X$ je vlastně prostě jen $F_X(x)=x$, že?

Offline

 

#13 11. 02. 2017 16:35

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: jo, je to prostě rovnoměrný rozdělení

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson