Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 02. 2017 14:03

stuart clark
Příspěvky: 746
Reputace:   
 

Trigonometric equation

Total number of real solution of $\sqrt{2}|\sqrt{\sin^4 x+9\cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x+9\sin^2 x} |= 1$ in $x\in [0,2\pi]$

Offline

 

#2 14. 03. 2017 01:31

Bati
Příspěvky: 2023
Reputace:   155 
 

Re: Trigonometric equation

Hi ↑ stuart clark:,
let $f(x):=\sqrt{\sin^4x+9\cos^2x}-\sqrt{\cos^4x+9\sin^2x}$, $g:=|f|$. It is easy to check that $g(x+\tfrac{\pi}2)=g(x)$, hence it is enough to consider $x\in[0,\tfrac{\pi}2]$. Now $g(0)=g(\tfrac{\pi}2)=2$ and $g(\tfrac{\pi}4)=0$, so, by continuity, there are at least 8 solutions in total. In fact, there are no more, because $g$ is monotone on the intervals $(0,\tfrac{\pi}4)$, $(\tfrac{\pi}4,\tfrac{\pi}2)$ and so on. Indeed, since $\sin x<\cos x$ on $(0,\tfrac{\pi}4)$ and conversely on the next interval, we deduce that $\text{sgn}\, f(x)$ is 1 on $(0,\tfrac{\pi}4)$ and -1 on $(\tfrac{\pi}4,\tfrac{\pi}2)$. Using that and
$\text{sgn}\,g'(x)=\text{sgn}\,\((\text{sgn}\, f(x))(\sin{2x})\(\frac{2\sin^2x-9}{2\sqrt{\ldots}}+\frac{2\cos^2x-9}{2\sqrt{\ldots}}\)\)\nl
=-\text{sgn}\,f(x)$, $x\in(0,\tfrac{\pi}2)$, the claim is proved.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson