Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 04. 2017 16:31

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Co je to odmocnina?

r-ta odmocnina je zobrazení r-root(z), ale jaké?
Definicni obor bude  snad celá rovina komplexních čísel z
Co je ale obor hodnotnot odmocniny?

Podle mne jsou hodnotami odmocniny množiny {y}, jejimiž prvky jsou ta čísla y, která
jsou řešením rovnice y^r = z pro celá "r"
resp. y^p = z^q pro racionálni r = p/q

Jak to bude pro iracionální "r" ?
Kolik budou mit tyto množiny prvků? Ja myslím že nekonečně.
Co vy na to?

Priklad: 2-root(9) = {-3, 3}
Kalkulačka však vrátí jen číslo 3, které taky nazýváme odmocninou z 9.
Jak tyto případy správně nazývat?

Pokud nazveme odmocninou jen jeden z kořenů rovnice definujících odmocninu, pak který to bude
např pro 3-root(1-i)?

Máme v matematice nazývat různé objekty stejným názvem, nebo je dovedeme vhodně rozlišit?

Dík za názor

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Pavel_J)

#2 18. 04. 2017 17:53

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

Je zapotřebí si ujasnit, zda pracuješ s odmocninou v reálném nebo v komplexním oboru a zda odmocninou míníš řešení jisté binomické rovnice nebo funkci reálné proměnné. V tom je rozdíl mezi tím, co uvádíš, a v tom, co vrací kalkulačka.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 18. 04. 2017 18:28

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

Ano, Vaše odpověď vystihuje mou otázku: "Je správné různé matematické objekty nazývat stejně?", ale nenabízí řešení.

Já vycházím z toho, že tyto matematické objekty mají jednak Název a jednak Definici a tyto dvě věci by měly tvořit nedílnou jednotu. Definice má pak 2 části: Specifikaci definičního oboru a předpis jak ke vzoru najít obraz. Chci se tedy vyhnout tomu nazývat nazývat různá zobrazení (lišící se v definičním oborem, nebo předpisem) stejně. Přijmu-li za definici, že "Odmocnina z nezáporného reálného čísla" je nezáporné číslo, které ..., pak se jedná speciální případ odmocniny, o čemž napovídá i rozvitý název.

Jak se však stavět k odmocnině obecně? Je taky správné tvrdit, že pokud je 2 odmocninou ze 4, pak už -2 nemůže být odmocninou ze 4?

Dále, vzhledem k tomu, že reálná čísla jsou jen zvláštním případem čísel komplexních
tak i definice odmocniny z komplexního čísla musí být beze změny aplikovatelná na čísla reálná, nevidím tedy důvod tyto definice rozlišovat.

Svůj názor, uvedený výše, tu dávám všanc veřejné polemice.

Offline

 

#4 18. 04. 2017 19:05 — Editoval misaH (18. 04. 2017 19:06)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Co je to odmocnina?

A o čo ti ide?

Buduješ novú matematiku?

Offline

 

#5 18. 04. 2017 19:22

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ misaH:
Tomu bych se chtěl vyhnout. Stčilo by mě umět se vyjadřovat konzistentně.

Offline

 

#6 18. 04. 2017 22:22 — Editoval Eratosthenes (18. 04. 2017 22:23)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

ale věci se nenazývají stejně.  Je reálná odmocnina a komplexní odmocnina. To jsou dvě různé věci. Samozřejmě že se  často používá jenom "odmocnina", ale v tom případě by mělo být zcela jasné o jakou odmocninu jde. Podobně se třeba říká jenom "číslo", ale v tom případě musí být jasné, zda se jedná o přirozené, reálné nebo nějaké úplně jiné. Protože samozřejmě ani číslo není jako číslo. Tento přístup je daleko rozumnější než kdybychom pro čísla vymýšleli x speciálních názvů. Právě v tom je ta konzistence, po které voláš.

A jen tak pro úplnost - komplexní odmocnina není zobrazení :-)


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#7 18. 04. 2017 23:48

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Eratosthenes:
No prosím, tak teď jsme už blíže jádru problému.
Co je to tedy ta komplexní odmocnina?

Offline

 

#8 19. 04. 2017 08:09

Bati
Příspěvky: 2063
Reputace:   161 
 

Re: Co je to odmocnina?

Ahoj ↑ Pavel_J:,
komplexní odmocnina jsou řešení příslušné binomické rovnice v $\mathbb{C}$. Možná by tě ale mohlo zajímat tohle a odkazy tam, zvlášť věta:

In general, branch cuts are not unique, but are instead chosen by convention to give simple analytic properties (Kahan 1987).

Offline

 

#9 19. 04. 2017 09:22

vlado_bb
Příspěvky: 2227
Škola:
Reputace:   64 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J: Teda komplexna odmocnina je mnozina.

Offline

 

#10 19. 04. 2017 13:40

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ vlado_bb:
Taky si to myslím a uvedl jsem to jako premisu.
Dělám tedy tento závěr:

1) Je třeba rozlišovat dvě různá zobrazení a to:
* Reálnou odmocninu z nezáporného reálného čísla vracející nezáporné reálné číslo;
* Komplexní odmocninu z komlexního čísla vracející množinu komplexních čísel.

2) Obě tyto odmocniny nemají nic společněho (ani definiční
obor, ani obor hodnot ani předpis zobrazení.

3) Pojem "Odmocnina" se používá zcela volně, jeho význam plyne jen z kontextu.

4) Pro oba druhy odmocnin se používá stejná značka.

Kdo tomu všemu rozumí je tato praxe triviální dohodou,
z hlediska didaktiky matematického způsobu vyjadřováni
to považuji za ostudu.

Offline

 

#11 19. 04. 2017 15:03

vlado_bb
Příspěvky: 2227
Škola:
Reputace:   64 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J: To si nemyslim. Tomu, kto sa dostane k odmocnine z komplexneho cisla, toto rozlisovanie nemoze robit problem.

Offline

 

#12 19. 04. 2017 15:26 — Editoval misaH (19. 04. 2017 15:28)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

Čo je na tom ostuda?

Ostuda sú úplne iné veci.

Tiež si nemyslím, že ktokoľvek (okrem Teba) to považuje za ostudu.

Neverím, že tebou popísané "nezrovnalosti" spôsobujú komukoľvek problémy pri matematickej komunikácii.

Preto som sa ťa pýtala, o čo ti ide. Chceš spísať petíciu?

Offline

 

#13 19. 04. 2017 15:37

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

Z bodů, které jsi napsal, je pravda jenom ten čtvrtý.

1. Jak už jsem se snažil naznačit, komplexní odmocnina není zobrazení. Může nabývat více hodnot, a proto je to pouze relace.

2. Obě tyto odmocniny mají společného docela dost. Například tvrzení

$\sqrt a = b \Rightarrow b\cdot b = a$

platí pro obě dvě.

3. Pojem "odmocnina" se, ostatně jako žádný matematický pojem, nepoužívá zcela volně. Například číslo pět určitě nemůžu prohlásit za odmocninu z  deseti. Ani reálnou, ani komplexní.

A za ostudu to může považovat jen ten, komu není jasná logická výstavba matematiky.

Můžu se zeptat, co na VUT konzultuješ?


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#14 19. 04. 2017 16:15

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Eratosthenes:
1) definice komplexni odmocniny pomoci relace je ekvivalentni s definici zobrazeni vracejici mnozinu.
2) Realna odmocnina vraci cislo, ale je to jine zobrazeni (funkce, relace) nez v pripade komplexni odmocniny. Nevidim duvod zaver menit.

Offline

 

#15 19. 04. 2017 17:08

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

1) definice komplexni odmocniny pomoci relace je ekvivalentni s definici zobrazeni vracejici mnozinu.

Není. Každé komplexní číslo je odmocninou nějakého čísla. Množina {0;1} není odmocninou žádného čísla.

2) Nevidim duvod zaver menit.

Lidí tvrdošíjně setrvávajících na svých omylech je mi upřímně líto.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#16 19. 04. 2017 17:49

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Eratosthenes:

Zbytočná strata času...

Offline

 

#17 19. 04. 2017 17:51 — Editoval misaH (19. 04. 2017 17:52)

misaH
Příspěvky: 8135
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

Nevidíš dôvod záver meniť...

Stále nechápem - no a čo? Tak ho nemeň, tvoja vec.

(Lepšie ako rakovina, myslím si...)

Offline

 

#18 19. 04. 2017 18:07 — Editoval Pavel_J (19. 04. 2017 19:39)

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

Ma↑ Eratosthenes:
Nám silný dojem, že si nerozumíme a mám na tom svůj podíl snahou vyjadřovat se příliš stručně,
ty jsi zase nečetl téma od začátku.

Nuž tedy:

1a)
Kořeny binomické r-ce dejme tomu x^2 = 9 jsou prvky množiny {-3, 3} kterou nazvěme třeba A.
Tato množina A se tedy (někde, někým) považuje za hodnotu komplexní odmocniny čísla 9 (a k tomuto pojetí se kloním i já - a uvedl jsem to jako premisu). Myslí se tím, že každý z prvků této množiny má tu vlastnost, že umocněn na 2. dostaneme 9. Není důvod bránit se tomu považovat komplexní odmocninu za zobrazení zobrazující 9->A

1b)
Ekvivalentní přístup je zavedené odmocniny jako relace {(9,-3) ;(9,3)}. Ekvivalence spočívá v tom,
že i tímto způsobem jsou vyjádřeny všechny kořeny binomické rovnice příslušné k číslu 9.

1c)
Někdy se odmocnina nazývá "víceznačnou funkcí" což je protimluv a nehodlám se tím zabývat.

1d)
Někdo odmítá mluvit o komplexní odmocnině zcela, množiny A nazývá množinou kořenů, a to je vše.
I na tom něco je, nevede to k nejasnostem.

2)
Mluvíme-li o reálné odmocnině (treba 2.) z kladného reálného čísla pak je to jiná funkce
než odmocnina komplexní. Jiná už jen tím, že má jiný definiční obor, dává však i jiné výsledky
(najde jen kladný kořen binomické r-ce).

Obě tyto odmocniny jsou alespoň relacemi, o tom není pochyb, ale relacemi odlišnými.
Žádná z těchto odmocnin, není zvláštním případem té druhé. Říkám-li že nemají "nic" společného,
mám na mysli, že nemají stejný definiční obor ani nedávají stejné výsledky.

Protipříklad odjinud. kdy matematické objekty mají něco společného:
Podmnožina vs. Vlastní Podmnožina - Každá Vlastní Podmnožina je též Podmnožinou, má VŠECHNY její vlastnosti a nějakou další vlastnost navíc.

Nic podobného však mezi pojmy Odmocnina, Komplexni Odmocnina a Odmocnina z Reálného čísla nenacházím. Můžu se ovšem plést a proto je tato diskuse, očekávám však logické zdůvodnění, lítost je mi k ničemu. Takže o co mi jde? Hledám nejjednodušší způsob vyjadřování/vysvětlování o odmocninách, který pokrývá veškeré příležitosti kdy tento pojem potřebujeme.

Dík za všechny názory. Přiměly mne se na tuto problematiky dívat z různých pohledů.

Offline

 

#19 19. 04. 2017 22:43 — Editoval Pavel (19. 04. 2017 22:44)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel_J:

Dvě poznámky:

1. Stejný problém, na jaký narážíš u odmocnin, nastává v komplexním oboru u logaritmických funkcí, cyklometrických funkcí apod. Tyto funkce jsou také mnohoznačné.

2. Mnohoznačná, resp. víceznačná funkce není protimluv, viz např. zde nebo zde


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#20 19. 04. 2017 23:39 Příspěvek uživatele Avokado byl skryt uživatelem Avokado. Důvod: naprd

#21 20. 04. 2017 09:35

Pavel_J
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Co je to odmocnina?

↑ Pavel:
Dik za nazor. Je jasne, ze priradit k jednomu vzoru vice obrazu je nekdy zapotrebi, prave v propadech, kdy se nekdy mluvi o zminenych viceznacnych funkcich. To vsak nic nemeni na tom, ze se protimluv jedna, protoze relace, ktera neni jednoznacna neni zobrazenim ani funkcí.Je to sice typicky pripad slovickareni, ale jakmile si zvyknem ze pojmy nemusi splnovat definice, tak bude zmatek nad zmatek. Zmineny problem jde vsak resit elegantne tak, ze uvazovana fce vraci mnozinu hodnot a to uz jediny obraz je. Co se tim vsak neresi je existence inverzni fce ktera musi vracet obraz stejneho typu jako je vzor fce puvodni.
Proto uznavam potrebu zavedeni odmocniny z nezaporneho cisla a jeji odlisnost od odmocniny komplexni vracejici mnozinu. Takto chápana komplexni odmocnina tedy neni inverzni funkci k mocnině. Povazuji ted za uzitecne rozdilnost obou odmocnin neskryvat pod spolecny pojem odmocnina. Dik vsem, kteri mi pomohli si to ujasnit.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson