Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 05. 2017 05:16 — Editoval stuart clark (06. 05. 2017 05:17)

stuart clark
Příspěvky: 752
Reputace:   
 

problem on floor function

$\displaystyle \bigg\lfloor\frac{2017!}{1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!}\bigg\rfloor$

where $\lfloor x \rfloor $ is a floor of $x$


For upper bound $1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!=2016(1!+2!+3!+\cdots +2016!)$

$2016(1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!)>2016(2016!+2015!)=2017!$

$\displaystyle \frac{2017!}{1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!}<2016$

But did not understand how to get lower bound without induction, Thanks

Offline

 

#2 08. 05. 2017 16:40 — Editoval vanok (09. 05. 2017 07:54)

vanok
Příspěvky: 12119
Reputace:   694 
 

Re: problem on floor function

Hi ↑ stuart clark:,
Complete proof.
$\frac{2017!}{1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!}=
\frac{2017}{1+\frac {1}{2016}+\frac{1}{2016*2015}+\cdots \cdots +\frac {1}{2016!}}$.
But $\frac {2017}{1+\frac {1}{2016}}=2016$, which give
$\frac{2017!}{1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!}<2016$.

Let us notice that for $x=1,5$,
$\frac {2017}{1+\frac{x}{2016}}>2015$,
but
$\frac{1}{2016*2015}+\cdots \cdots +\frac {1}{2016!}<\frac {x}{2016}$
So
$\displaystyle \bigg\lfloor\frac{2017!}{1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!}\bigg\rfloor=2015$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 26. 05. 2017 05:55

stuart clark
Příspěvky: 752
Reputace:   
 

Re: problem on floor function

Thanks ↑ vanok:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson