Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 05. 2017 16:17

check_drummer
Příspěvky: 2412
Reputace:   65 
 

Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Ahoj,
inspirován jiným vléknem zde, zadávám tento dotaz. Tvrzení, která budeme zkoumat, jsou myšlena čistě formálně - tj. jako syntaktické výroky. Uvažujme, že se pohybujeme v nějakém obecném tělese T (tj. t je dáno jako nějaká běžná množina axiomů popisujících těleso).
1) Je (v T) dokazatelé $1/0 = 1/0$?
20 Je (v T) dokazatelné $(1/0 = 1/0)'$ (tj. negace předchozího výroku)?

Upozorňuji, že mi jde o syntaktickou dokazatelnost (ve smyslu "odovozování řetězců z jiných řetězců" - kde tyto řetězce pokládáme za dokazatelné výroky), tj. tvrzení, že "nulou dělit nelze" samo o sobě nelze považovat za "důkaz".

Nabízím řešení k diskusi:


"Mami, co je to ta rekurze?"
"Vysvětlím ti to lépe až zítra."

Offline

 

#2 27. 05. 2017 16:00 — Editoval check_drummer (27. 05. 2017 16:04)

check_drummer
Příspěvky: 2412
Reputace:   65 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Ahoj,
jeví se mi to tak, že platí jedno z následujících:

1) Znak pro dělení není součástí jazyka okruhu a tedy výraz 1/0 nemá smysl a tudíž ani uvedené výroky smysl nemají a tedy nemá smysl se bavit o jejich dokazatelnosti.

2) Znak pro dělení je sice součástí jazyka okruhů, ale některé výrazy nejsou povoleny, např. výrazy a/0, případně obecně výrazy a/b, kde je dokazatelné, že b=0.

Ponámka: Kdyby platil bod 1, pak bychom spoustu pěkných tvrzení nemohli formulovat, resp. museli bychom je složitě opisovat pomocí znaku násobení. Ale pro naše účely bych si v tom případě vybral nějakou jinou strukturu, např. s funkcí log a zkoumal bych třeba ("nedefinovaný") výraz log(0) - čímž bych bod 1 převedl na bod 2 (případně na bod 3).

3) Jsou povoleny i výrazy 1/0 (v syntaktickém smyslu, tj. jako "řetězce") a výroky, ve kterých se tyto výrazy vyskytují, lze zkoumat standardními postupy týkajícími se "dokazatelností". Tady se ale obávám, že by bylo možné dokázat nejen, že 1/0=1/0, ale např. i substitucí 1/0 do nějaké platné identity, např. že $(1/0+2)^2=(1/0)^2+2.(1/0).2+2^2$. No ale proč ne? :-)
Ale v tomto případě tedy z vlastností predikátu rovnosti nebude dokazatelné $(1/0 = 1/0)'$.

A jak to bude v bodě 3 s modelem (ve kterém by platilo 1/0=1/0)? O tom jsem nepřemýšlel, tak v krátkosti: Možná by ten model mohl mít samostatné individuum pro výraz 1/0. Případně žádný takový model uvedené struktury neexistuje - což by pak ale asi znamenalo, že je v té struktuře dokazatelné každé tvrzení, protože je platné ve všech modelech. :-) Takže struktura bez modelu je nezajímavá (sporná).


Tak asi tak, stále se nebráním diskusi. :-)


"Mami, co je to ta rekurze?"
"Vysvětlím ti to lépe až zítra."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson