Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 28. 05. 2017 14:25

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Ujasnění

↑↑ Eratosthenes:
Přesně tak, takže to, že "a=a" má smysl není kvůli tomu, že je součástí gramaticky správné formule "a=a+1 => a=a", jak jsi uváděl, ale díky tomu, že je to gramaticky správná formule. Abys totiž mohl říci, že je implikace gramaticky správná formule, tak musí být její předpoklady a závěry gramaticky správné formule.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#52 29. 05. 2017 09:27 — Editoval Rumburak (29. 05. 2017 09:28)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Ujasnění

↑↑ check_drummer:

Ahoj.

>>> Ale proměnné neoznačují vlastní třídy, jen "řádné" množiny.

To závisí na teorii.  Např. v Goedel-Bernaysově TM (která je co do výsledků ekvivalentní
Zermelo -Fraenkelově) je elementárním pojmem"třída" a s proměnnými pro třídy
(včetně vlastních tříd) se běžně pracuje. Např. definice množiny tam zní:

"Třída $X$ je množinou, právě když existuje třída $Y$ taková, že $X\in Y$. "

Formálně :   $M(X)  \Leftrightarrow  (\exists Y) (X \in Y)$ ,  kde $M(X)$ je predikát
"třída $X$ je množinou".

Offline

 

#53 01. 06. 2017 11:07

bedrnik
Příspěvky: 53
Reputace:   
 

Re: Ujasnění

Ahoj, výraz $\neq$ chápu jako negaci $=$.

Dále si myslím, že pokud nějaký výraz neexistuje, tak by jej v prvé řadě člověk neměl vůbec psát. Tj. např. než napíšu $\lim_{x \to \infty} f(x)$, tak bych měl nejprve vyšetřit chování funkce $f$ a dokázat, že uvedená limita existuje.

Z mého pohledu je tedy zápis typu $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$ nesprávný ne proto, že by $\neq$ nebyla negace $=$, ale proto, že již podvýraz $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ je nesprávný a IMHO nemá v pečlivě napsaném textu co dělat.

Offline

 

#54 01. 06. 2017 21:53

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ bedrnik:

Ok, zeptám se takto: Je zápis

$
\lim_{x\to 0}  \left[  \frac 1 x\cdot  \left (  arctg \frac{\frac 1 x +1} {\frac 1 x +2} -\frac {\pi} 4 \right) \right]

$

správný, anebo nesprávný? A jak t budeš zjišťovat?


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#55 02. 06. 2017 18:47

bedrnik
Příspěvky: 53
Reputace:   
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:

Pokud správně počítám (pomocí Taylorova rozvoje), platí $\lim_{x\to 0}  \left[  \frac 1 x\cdot  \left (  arctg \frac{\frac 1 x +1} {\frac 1 x +2} -\frac {\pi} 4 \right) \right] = -\frac{1}{2}$, takže proti uvedenému výrazu nic nemám :-)

Nicméně bych rád korigoval svůj předchozí příspěvek ↑ bedrnik:, kde jsem psal, že výraz typu $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ je nesprávný a v žádném případě nemá v matematickém textu co dělat. To je příliš silné tvrzení, např. nevidím nic špatného na větě: "$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ neexistuje."

Přesto však trvám na tom, že výrazy typu $a = b$ nebo $a \neq b$ jsou matoucí, pokud $a$ nebo $b$ není dobře definovaný matematický objekt.

Takže je podle mě správně napsat např.: "Pokud $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ existuje, pak $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$." Na druhou stranu bych nepsal rovnou $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 1$ bez dalšího vysvětlení, protože hrozí, že si to čtenář vyloží tak, že uvedená limita existuje (a nerovná se 1).

Offline

 

#56 02. 06. 2017 20:31 — Editoval check_drummer (04. 06. 2017 00:18)

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Ahoj,¨jak jsem psal někde výše - jsou asi dvě možnosti jak z toho ven:
1) Za správný považujeme jen takový zápis, kdy daný výraz existuje (tj. je roven nějakému konkrétnímu prvku ze zkoumaného oboru, např. z reálných čísel).
2) Za správný považujeme každý syntakticky správný zápis - byť definuje neexistující objekt (např. neexistující limitu, apod.)
Otázka je, co je lepší (správnější) - asi je nutné snést nějaké důvody pro a proti k jednotlivým bodům.

Druhá otázka - jak to zjistit? (Týká se to bodu 1.) To se dá provést šalamounsky - nebudu nic zjišťovat - prostě definuju výraz v (to je např. ta limita) za správný, pokud je dokazatelné, že "existuje reálné číslo r takové, že r=v". Ale to, zda důkaz předchozího tvrzení je znám nebo ne, to neřeším - z matematického hlediska je to dobře definovaný pojem, řekl bych, že i smysluplný, z "konstruktivního" a "praktického" již méně, ale to matematika primárně zas tolik "nezajímá".

Edit: Provedl jsem drobná upřesnění a korekce.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#57 03. 06. 2017 01:45

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Ujasnění

↑ Rumburak:
Ahoj. Děkuji za upozornění, měl jsem na mysli ZF. Ale jak píšeš, lze obě teorie na sebe "převést". Jestli to tedy chápu správně, tak i na třídu jsou kladena jistá omezení - např. si myslím, že neexistuje třída, která je prvkem sama sebe, že?
A z té definice se mi zdá, že vlastní třídy (na rozdíl od množin) netvoří hierarchickou strukturu, tj. že vlstní třída nemůže být prvkem jiné třídy (ať už vlastní nebo nevlastní).


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#58 03. 06. 2017 14:32 — Editoval Eratosthenes (03. 06. 2017 15:35)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ bedrnik:

no - počítáš špatně, ta limita neexistuje. A v tom je právě jádro pudla - právě se tady oba dva bavíme docela smysluplně o neexistujícím (podle tebe tedy nesmyslném) čísle. Aniž bys věděl, zda limita existuje, anebo ne, musíš ji vzít a začít s ní počítat. Bez výpočtu té limity totiž není jak zjistit, že neexistuje. Sám jsi teď vzal neexistující číslo (podle tebe "nesmyslný výraz") a musels s tím počítat.

Takže výraz

$\lim f(x) = \lim g(x)$

smysl určitě má, i když číslo ani vlevo ani vpravo neexistuje. 

Výrazy typu a=b a "dobře definovaný objekt": Co myslíš "dobře definovaným objektem"? Vezmi si zápis

$(a= a+1) \wedge (a\in \mathbb{N})$

který od začátku odmítáš. Stejně bys měl nepřipustit zápis

$(\sqrt 2 = \frac a b) \wedge (a,b \in \mathbb{N})$.

Číslo a je v obou zápisech definováno "stejně dobře" nebo "stejně špatně". V obou případech stejně hezky neexistuje.
Odmítneš-li však druhý zápis musíš nejspíš odmítnout i existenci iracionálních čísel a každopádně všechny důkazy sporem...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#59 03. 06. 2017 15:25 — Editoval Eratosthenes (03. 06. 2017 15:38)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   120 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:

ad 1) Výraz existuje vždy. Existovat začne v okamžiku, kdy se napíše :-) Takže jednoznačně tvoje dvojka. Je totiž třeba rozlišovat to, co stále nerozlišuje ↑ bedrnik: : totiž výraz správný syntakticky a výraz správný sémanticky.  Syntakticky správný výraz je výraz napsaný podle pravidel ("gramaticky správný") a výraz správný sémanticky je to, co existuje, resp. pravdivá informace o existujícím objektu ("pravdivý výrok").

Výraz a+a = 2a je správný syntakticky i sémanticky.

Výraz a+1 = a je správný syntakticky. Má smysl, je rozumět, co tím chtěl autor říci. Není správně sémanticky (takové číslo neexistuje). Ale má smysl to napsat a má smysl se o tom bavit - viz složitější případy limit, nebo ↑ Eratosthenes:.

Výraz a== není správně ani sémanticky ani syntakticky. Je nepochopitelný, není jasné, co tím chtěl autor říci. Nemá smysl takové sekvence psát a o takových zápisech se bavit, až snad na výjimečné případy - např. metajazykové souvislosti - mohu ho uvést např. v učebnici logiky jako příklad syntakticky nesprávné formule.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#60 04. 06. 2017 00:18

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Ujasnění

↑ Eratosthenes:
Upravil jsem bod 1.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#61 05. 06. 2017 11:13

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Ujasnění

↑ check_drummer:


Ahoj.

Podrobnou axiomatiku CB teorie tu jen tak z patra nepodám - snad bude k nalezení na webu.

Smozřejmě, ani vlastní třída nemůže být prvkem sama sebe. Kdyby tomu tak bylo, muselo by
nutně jít o množinu (třída, která je zároveň  prvkem v nějaké třídě,  je dle definice v CBTM množinou). 
Že množina nemůže být svým vlastním prvkem, je rovněž vyřešeno.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson