Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 06. 2017 15:48 — Editoval check_drummer (14. 06. 2017 15:46)

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Funkce na intervalu

Ahoj,
dokažte, že pro funkci f (mající na uzavřeném intervalu I všude derivaci) platí pro každé d, že:
jestliže má funkce f na intervalu I omezenou derivaci hodnotou d ($|f'(x)|\leq d$), tak potom je $\int_{I}{f(x) \cdot dx} \leq d/2$
a nebo pokud je $\int_{I}(f(x) \cdot dx)\leq d/2$, tak musí mít f na I derivaci omezenu hodnotou d.

Edit: Upravil jsem formulaci vzhledem k d.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#2 14. 06. 2017 00:45

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ check_drummer:

Moc nerozumím tomu, proč by to mělo platit.

Funkce $f(x)=\sin x$ má omezenou derivaci, tj. $|(\sin x)'|\leq 1$, na intervalu $I=\langle 0,\pi\rangle$. Že by platilo $\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq\frac 12$, o tom pochybuji.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 14. 06. 2017 00:52 — Editoval Pavel (14. 06. 2017 00:52)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ check_drummer:

Jistě platí $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq \frac 12\cdot \frac 1{100}$. Pak by to znamenalo, že funkce $f(x)=\sin x$ má na intervalu $\langle 0,2\pi\rangle$ omezenou derivaci hodnotou $\frac 1{100}$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#4 14. 06. 2017 15:45 — Editoval check_drummer (14. 06. 2017 15:47)

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ Pavel:
Abych byl přesnější - to d je stejné pro obě implikace... tj. celé tvrzení by mělo začínat "pro každé d..."
Takže pokud máš nějaký příklad, kde si myslíš, že to neplatí, uveď prosím funkci f a hodnotu d. Např. V prvním případě to platí, protože $\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq\frac 12$ neplatí a proto je druhá implikace triviálně pravdivá.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#5 14. 06. 2017 16:46

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 4967
Reputace:   185 
Web
 

Re: Funkce na intervalu

Takže vlastně dokazujeme výrok (A=>B v B=A)?

Offline

 

#6 14. 06. 2017 17:37

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ Stýv:
A je to prozrazený... :-(


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

#7 14. 06. 2017 22:52

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1754
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ check_drummer:

Ještě poznámka, to $dx$ označuje součin konstanty $d$ a $x$ nebo diferenciál $\mathrm dx$, který je součástí integrálu? Je to docela matoucí.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 15. 06. 2017 00:08

check_drummer
Příspěvky: 2363
Reputace:   64 
 

Re: Funkce na intervalu

↑ Pavel:
Je to diferenciál, který je součástí integrálu - ale je to vlastně nepdostatné, viz některé příspěvky výše.


Cimrmanův botanický kvíz:
Co mají společného byliny kozlík a pivoňka?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson