Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 07. 2017 18:40

vytautas
Příspěvky: 425
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Weyl-minkowski

Zdravim

mam problem s dokazom / s pochopenim / jednej implikacie Weyl Minkowskeho vety, teda, ze kazdy obmedzeny mnohosten je polytop.

Dokaz je zalozeny na tom, ze mame nas obmedzeny mnohosten $P=H_1 \cap ... \cap H_n$, kde $H_i=\{y:y\cdot u_i\le a_i\}$ su uzavrete polpriestory, $u_i$ su jednotkove vektory a $a_i \in \mathbb{R}$

Pre $x \in P$ si definujem mnozinu $I(x)=\{1 \le i \le n, x\cdot u_i=a_i\}$

Vyuzivam dalej lemmu(3?), ktora vravi, ze $x \in EXT(P) \Leftrightarrow <u_i>_{i \in I(x)} = \mathbb{R}^d$, kde $EXT(P)$ znaci mnozinu extremalnych bodov, teda takych, ktore ked vynechame, neporusi sa konvexita a $<.>$ znaci linearny obal cez $u_i$, kde $i \in I(x)$.

Potom mame pre extremalne body vyjadrenie(1?) :$\{x\}= \bigcap_{i \in I(x)} \{y:y\cdot u_i=a_i\}$

a z lemmy nakoniec vyplyva(2?), ze $|EXT(P)| \le \binom{n}{d}$, teda je konecna a z Krein-Milmanovej vety mame, ze $P=conv(EXT(P))$ ak $P$ je konvexne teleso, tym padom $P$ je konvexnym obalom konecnej mnoziny a teda polytop.

Moja otazky: (1?) preco kazdy extremalny bod je prave takeho tvaru ?
(2?) ako to z toho vyplyva ? vobec to nevidim.
(3?) casti dokazu tejto lemmy mi nie su jasne, spisem ich presne neskor, najskor ma zaujimaju (1?),(2?).

za kazdu pomoc dakujem


Per aspera ad astra

Offline

 

#2 14. 07. 2017 20:55

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5129
Reputace:   195 
Web
 

Re: Weyl-minkowski

bez záruky, už jsem pár let ze školy a tohle není úplně moje parketa:
ad 1) vektory $u_i$ generujou $\mathbb R^d$, proto má soustava jediný řešení (a tím řešením musí být $x$)
ad 2) každý extremální bod je jednoznačně určen $d$ rovnicemi z $n$ možných

Offline

 

#3 16. 07. 2017 10:50

vytautas
Příspěvky: 425
Škola: MFF UK - MOM
Pozice: študent
Reputace:   13 
 

Re: Weyl-minkowski

↑ Stýv:

presne toto som potreboval, ďakujem !


Per aspera ad astra

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson