Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 07. 2017 11:30

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

Ahoj. Asi som blbý a je to triviálne, ale platí pre nezápornú neklesajúcu funkciu f implikácia
$\(\(\lim_{x\to-\infty}{f{\(x\)}}=0\)\ \&\ \(\int\limits_{-\infty}^{0}{f{\(x\)}\mathrm{d}x}\in\mathbb{R}\)\)\Rightarrow \(\lim_{x\to -\infty}{xf{\(x\)}}=0\)$?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 16. 07. 2017 16:32

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

Ahoj, myslím, že platí. Navíc předpoklad $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ je podle mě zbytečný, protože $\int\limits_{-\infty}^0f(x){\rm d}x<+\infty\Rightarrow\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Offline

 

#3 16. 07. 2017 16:58 — Editoval van Thomas (16. 07. 2017 17:01)

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

Možná to jde elegantněji pomocí nějakého kritéria, ale dokazoval bych to sporem. Není-li $\lim_{x\to-\infty}xf(x)=0$, pak existuje $\varepsilon>0$ a posloupnost $(x_n)_{n=1}^{+\infty}$ záporných čísel taková, že $\lim_{n\to+\infty} x_n=-\infty$ a $x_nf(x_n)\leq-\varepsilon\ \forall n\in\mathbb N$. Navíc jistě není problém posloupnost zvolit tak, aby $x_{n+1}\leq2x_n\ \forall n\in\mathbb N$, tj. $\frac{x_n-x_{n+1}}{-x_{n+1}}\geq\frac12$. Potom pro libovolné $n\in\mathbb N$ platí $\int\limits_{x_{n+1}}^{x_n}f(x){\rm d}x\geq(x_n-x_{n+1})f(x_{n+1})\geq\frac{x_n-x_{n+1}}{-x_{n+1}}\varepsilon\geq\frac\varepsilon2$. Odtud $\int\limits_{-\infty}^0f(x){\rm d}x\geq\sum_{n=1}^{+\infty}\int\limits_{x_{n+1}}^{x_n}f(x){\rm d}x\geq\varepsilon\sum_{n=1}^{+\infty}\frac12=\varepsilon(+\infty)=+\infty$.

Offline

 

#4 16. 07. 2017 19:07 — Editoval jarrro (16. 07. 2017 19:17)

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

Díky↑ van Thomas:
Využil si niekde neklesajúcosť? Podľa dôkazu to vyzerá, že by to prešlo pre nezáporné funkcie . Je to tak?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 16. 07. 2017 19:19

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

Využil v tom prvním odhadu integrálu, bez monotonie to neprojde :)

Offline

 

#6 16. 07. 2017 19:24

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ van Thomas:aha fakt. dík označím za vyriešené.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 17. 07. 2017 00:29

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1764
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ jarrro:

Není-li $\lim_{x\to-\infty}xf(x)=0$, pak z monotonnosti funkce $f(x)$ a $x$ plyne, že existuje $\varepsilon>0$ takové, že platí  $xf(x)<-\varepsilon$ pro dostatečně malá záporná $x$, tj.

$
f(x)&>\frac{-\varepsilon}x\\
\int_{-\infty}^0 f(x)\,\mathrm dx&>-\varepsilon\int_{-\infty}^0 \frac{\mathrm dx}x=\infty
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 17. 07. 2017 08:53

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 17. 07. 2017 14:12

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ Pavel:
Dovolím si nesouhlasit. Jako protipříklad vezměme funkci $f(x)=2^{-n(n+1)}$ pro $x\in(x_{n+1},x_n]$, kde $x_n=-2^{(n-1)n}$, $n\in\mathbb N$, a $f(x)=1$ pro $x\in(-1,0]$. Evidentně $x_nf(x_n)=-2^{-2n}$, $\lim_{x\to x_n+}xf(x)=-1$, $\limsup_{x\to-\infty}xf(x)=0$, $\liminf_{x\to-\infty}xf(x)=-1$. Tj. $\lim_{x\to-\infty}xf(x)$ neexistuje (není $0$), $f$ je neklesající, ale $xf(x)$ není na žádném okolí $-\infty$ shora omezená záporným číslem. Nicméně platí $\int\limits_{-\infty}^0f(x){\rm d}x=+\infty$, jak jsem obecně dokázal výše.

Offline

 

#10 17. 07. 2017 14:59

Xellos
Příspěvky: 520
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   35 
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ van Thomas:
Funkcia $\sum_{n=1}^\infty \chi(n,n+1/n^2)$ (sucet charak. funkcii intervalov) ma vlastny integral $\sum \frac{1}{n^2}$, ale nema limitu. Plati ale, ze ak ma funkcia limitu $a \neq 0$, potom nema vlastny integral, lebo je $|f| > |a|/2$ pre $x > x_0$.

Offline

 

#11 17. 07. 2017 15:29

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ Xellos:
Nevím přesně, na co to má být reakce, ale bavíme se tu o monotónních funkcích :)

Offline

 

#12 17. 07. 2017 17:18

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ Pavel:↑ van Thomas: myslím, že to súvisí s tým, že o súčine neklesajúcich funkcií s rôznymi znamienkami sa nedá nič povedať
napríklad aj $f{\(x\)}=\begin{cases}\frac{1}{x^2}  & \text{ ak } x<-1\\
1 & \text{ inak }\end{cases}$ je taký divný prípad keď $xf{\(x\)}$ je dokonca klesajúca na okolí mínus nekonečna


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#13 17. 07. 2017 17:29

van Thomas
Příspěvky: 61
Škola: FAV ZČU
Reputace:   
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ jarrro:
Přesně tak, kdybychom věděli (předpokládali), že je $xf(x)$ monotónní, šel by samozřejmě důkaz zjednodušit, ale nevíme.

Offline

 

#14 17. 07. 2017 22:39 — Editoval Xellos (17. 07. 2017 22:40)

Xellos
Příspěvky: 520
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   35 
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ van Thomas:
Bola to reakcia na $\int\limits_{-\infty}^0f(x){\rm d}x<+\infty\Rightarrow\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Ok, vyzeralo ze to myslis vseobecne.

Offline

 

#15 19. 07. 2017 00:18 — Editoval Pavel (19. 07. 2017 00:20)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1764
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   130 
 

Re: integrovateľná neklesajúca funkcia na neohraničenom intervale

↑ van Thomas:

Souhlasím s Tvým postřehem. Můj postup by fungoval v případě, že by platilo $\limsup xf(x)<0$. To, zda je funkce $xf(x)$ monotonní, ve skutečnosti nehraje žádnou roli, byť jsem tuto skutečnost omylem zmínil.

Uvedu ještě jeden důkaz, který kopíruje obdobné tvrzení z teorie nekonečných řad.

Nechť $\int_{-\infty}^0f(x)\,\mathrm dx\in\mathbb R$ a $f(x)$ je neklesající. Pak pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje $K<0$, takové že pro libovolná reálná $s,t$ splňující nerovnost $s<t<K$ platí $\left|\int_s^tf(x)\,\mathrm dx\right|<\frac \varepsilon2$.

Volme $s<2K$ a $t=\frac s2$. pak $\left|\int_s^\frac s2f(x)\,\mathrm dx\right|<\frac \varepsilon2$. Funkce $f$ je neklesající, proto platí $f(s)\leq f(x)\leq f\left(\frac s2\right)$, kde $x\in\left[s,\frac s2\right]$. Kombinací všech uvedených skutečnosti odvodíme diskutovanou limitu, tj.

$
\frac\varepsilon2>\left|\int_s^\frac s2f(x)\,\mathrm dx\right|\geq \left|f(s)\int_s^\frac s2\mathrm dx\right|=\left|-\frac s2\,f(s)\right|=\left|\frac s2\,f(s)\right|\quad\Rightarrow\quad \varepsilon>|sf(s)|\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{\lim_{s\to-\infty}sf(s)=0}  
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson