Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 04. 2017 20:20

crank139
Příspěvky: 322
Reputace:   
 

paradox dvojčiat

zdravím, vie mi niekto vysvetliť tento článok? lebo som trochu mimo podľa tohto záveru a doteraz som si myslel že tomu rozumiem :D

http://fyzikaprevsetkych.blogspot.sk/2011/05/paradox-dvojciat.html

Ide oto, že v relativite bude rovnaký účinok pozorvať aj pozorovateľ na zemi, ktorý sa relatívne pohybuje rýchlosťou 0.98 voči rakete, tak isto sa aj zem pohybuje voči pozorovateľovi v rakete.. on môže povedať, že stojí a Zem mu ide oproti - vznikne symetrická situácia - ani jeden znich by teda nemal zostarnúť skôr ale po návrate to Filip zistí, a že je mladší. Tento omyl je spôsobený doplerovým javom, pri odčítavaní a zisťovaní informácií o Filipovom starnutí, pretože sa obidve sústavy nepohybujú stále rovnomerne priamočiaro ale Filip prechádza z jednej sústavy x - (ak sa vzdiaľuje od Zeme) do x' (ak sa k Zemi približuje).

Lorentovské transformácie to pekne ukazujú a správne riešia. Takže paradox ako taký sa znovu nekoná :)

ako môže rovnaký účinok pozorovať pozorovateľ na zemi keď on vlastne nerobí žiadny pohyb v priestore?
o ďalšiu vetu píše že vlastne došlo k tomu že jeden z nich je mladší a jeden starší ale na konci uvedie že paradox sa nekoná, no wikipédia hovorí niečo iné že paradox sa koná tak či tak ako mám tomu rozumieť? ďakujem
https://sk.wikipedia.org/wiki/Paradox_dvoj%C4%8Diat

EDIT: Rýchlosť svetla vo vákuu nie je určená meraním, ale definíciou, nakoľko samotná jednotka meter je definovaná z pohľadu rýchlosti svetla a sekundy.
otázka č.2ským spôsobom si odvodím dľžku metra? ďakujem

Offline

 

#2 04. 04. 2017 20:39

edison
Příspěvky: 296
Reputace:   11 
 

Re: paradox dvojčiat

Máme dvě relativity:

1. Speciální, která řeší pouze situace bez zrychlení (tzn. věci se pohybovaly před tím a budou se úplně stejně pohybovat i potom). Je relativně jednoduchá, ale není v ní žádný mechanismus, jak rozlišit co/kdo se pohybuje a co/kdo ne. Jestliže předmět A letí proti předmětu B rychlostí 100 km/s, je to rovnocenné se předmětem B letícím proti předmětu A rychlostí 100 km/s.

2. Obecná, která řeší vše, tedy včetně zrychlení. Předměty A a B z příkladu k 1 zde nejsou rovnocenné, protože B nějaký kosmonaut lehce vystrčil do volného prostoru, zatímco předmět A na něj potom střelil z kanónu. Předmět A tedy "zažil" zrychlení, předmět B nikoli.

No a tzv. Paradox dvojčat je jen ilustrační příběh, proč speciální relativitu nelze "beztrestně" aplikovat na děje se zrychlením (bez něj se cesta tam-zpět neobejde).

Offline

 

#3 04. 04. 2017 20:40

edison
Příspěvky: 296
Reputace:   11 
 

Re: paradox dvojčiat

A k druhé otázce: Metr je vzdálenost, kterou světlo urazí za dobu 1/c.

Offline

 

#4 04. 04. 2017 23:55

crank139
Příspěvky: 322
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

1. čiže tento paradox potom podľa všetkého funguje a dáva zmysel, prečo je to potom paradox? alebo je to len paradox specialnej teorie relativity, a obecnej teorie relativity je to "skutočný príbeh"? prečo sa vlastne používajú de rozlišné teórie?

2. tomuto teraz nerozumiem, chápem že sa zobere vzdialenosť ktorú urobí svetlo za sekundu, ale ako viem na koľko časti teraz tú vzdialenosť rozsekám?
lebo keď povieš že tuto vzdialenosť vydelíš 299 792 458 tak tuna už tu hodnotu poznáš čiže si nemohol vychádzať z tejto hodnoty
ďakujem veľmi pekne

Offline

 

#5 05. 04. 2017 11:45 — Editoval LukasM (05. 04. 2017 11:47)

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ crank139:
1. Nevím co znamená sousloví "paradox funguje". Ono záleží, co myslíš slovem paradox. Má to myslím znamenat něco, co je nečekané. V tomto smyslu je nečekané to, že něco symetrického (vzájemné rychlosti) vede k něčemu nesymetrickému (jeden je starší než druhý). Ale tohle je právě paradoxní jen pro toho, kdo si neuvědomí, že jedno dvojče skáče z jedné inerciální soustavy do druhé, zatímco první ne. Takže ta situace symetrická není.

Pokud jsi pod slovem "paradox" hledal situaci, kdy se v teorii relativity objeví vnitřní spor, takový nenajdeš (a pokud ano, budeš slavný). Proč se používají dvě teorie? Je to jednak z historických důvodů (speciální byla první), jednak proto, že OTR je matematicky mnohem náročnější, a protože v mnoha případech stačí použít STR, tak se to tak dělá. Ale vlastně to nejsou dvě teorie, STR je "podmnožinou" OTR - řekněme zjednodušená teorie, která platí za nějakých speciálních předpokladů. Proto se jí také tak říká.



2. Nevím, kde vidíš problém. Vezmu vzdálenost, jakou světlo urazí za sekundu, rozdělím ji na 299 792 458 stejných kousků, tomu kousku budu říkat metr. Nazdar. To číslo je dané definicí, z toho můžu vycházet jak chci. Že to číslo kdysi někdo určil tak, aby metr podle nové definice byl zhruba stejný jako podle staré definice na tom nic nemění. Není to žádná definice kruhem, nebo co podobného v tom vidíš.

Offline

 

#6 05. 04. 2017 13:06

crank139
Příspěvky: 322
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

1.myslel som to tak že proste v specialnej teorii relativity je daná udalosť (že bol jeden starší a druhý mladší) paradoxom, a vo všeobecnej teorii relativity to paradox proste nie je, chápem tomu správne?

↑ LukasM:

2. Nevím, kde vidíš problém. Vezmu vzdálenost, jakou světlo urazí za sekundu, rozdělím ji na 299 792 458 stejných kousků, tomu kousku budu říkat metr. Nazdar. To číslo je dané definicí, z toho můžu vycházet jak chci. Že to číslo kdysi někdo určil tak, aby metr podle nové definice byl zhruba stejný jako podle staré definice na tom nic nemění. Není to žádná definice kruhem, nebo co podobného v tom vidíš.

presne to sa pýtam, odkiaľ sa vzalo číslo 299 792 458, len to proste takto niekto stanovil alebo za tým niečo je že prečo si vybral práve to číslo?

Offline

 

#7 05. 04. 2017 13:45

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ crank139:
1. Znovu, paradox je v tom, že něco vypadá symetricky, ale symetrické to není. Není potřeba řešit, jestli patří do STR nebo OTR. Nepatří nikam, lidé ho mají v hlavě. Pro STR jako takovou to paradox není - STR ví, že neplatí v neinerciálních soustavách a je jí jasné, že ten bod obratu je problematický.


2. Odkud se vzalo to číslo? No...

LukasM napsal(a):

↑ crank139:
Že to číslo kdysi někdo určil tak, aby metr podle nové definice byl zhruba stejný jako podle staré definice na tom nic nemění.

Takže vzniklo změřením rychlosti světla v době, kdy byl metr ještě definován jinak.

Offline

 

#8 05. 04. 2017 14:09

crank139
Příspěvky: 322
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

↑ LukasM:

Takže vzniklo změřením rychlosti světla v době, kdy byl metr ještě definován jinak.

ja som asi fakt nechápavy,ale tá stará miera metru má niečo spoločné potom s tou novou ktorá sa týka rýchlosti svetla? lebo stále nerozumiem ako sa došlo k tomu číslu 299 792 458

Offline

 

#9 05. 04. 2017 14:14 — Editoval Cheop (05. 04. 2017 14:15)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7275
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: pracující
Reputace:   361 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ crank139:
rychlost světla je 299 792 458 metrů za 1 sekundu (ve vakuu)
takže 1 metr urazí světlo za 1/299 792 458 sekund


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#10 05. 04. 2017 14:25

crank139
Příspěvky: 322
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

správne tomu rozumiem ale ako bola určená ta konkrétna hodnota 299 792 458, ešte predtým než meter nebol zadefinovaný? ako sa prišlo k tomuto čislo?

Offline

 

#11 05. 04. 2017 14:33 — Editoval LukasM (05. 04. 2017 14:33)

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ crank139:
Tak pomalu. Mám metr definovaný jako délku nějaké tyče, kterou si schovám ve sklepě a střežím ji jako oko v hlavě. Žiju šťastně, stavím fyzikální přístroje, které zkalibruji pomocí té tyče a měřím všechno možné, třeba rychlost světla - která mi vyjde zhruba 299 792 458 m/s. To znamená, že vím, že světlo za sekundu urazí stejnou vzdálenost, jako když vezmu tu svou tyč, a položím ji 299792458x za sebe. Mám radost.

Ale pak si uvědomím, že ten etalon má problémy. Můžu ho ztratit, zlomit, můžou mi ho ukrást, může mi zplesnivět, zkorodovat, délkově se roztahuje.... A taky musím pořád chodit do sklepa. Už nemám radost. A tak začnu vymýšlet, jestli bych neměl tu svou jednotku délky nějak změnit. A napadne mně, že bych mohl použít tu rychlost světla a svou jednotku délky definovat jako nějaký zlomek vzdálenosti, kterou světlo urazí za sekundu. Je úplně jedno, jaký zlomek zvolím, každá volba vyrobí jednotku délky.

No jo, ale když si prostě vymyslím nějaké číslo, tak budu muset všechny ty své fyzikální přístroje vzít a lepit na ně nové stupnice. Také budu muset do škol dodat nové učebnice, a opravit zadání všech úloh u vodorovného vrhu (a skoro všech ostatních, jednotky spolu souvisí). Ale hlavně mi hrozí, že budu prohlášen za blázna a lynčován, protože způsobím chaos. Což je jednak nepříjemné, jednak to zanechá lidstvo s blbě definovanou jednotkou délky. Prostě to není legrace.

Proto pro mně bude výhodné zvolit ten zlomek tak, aby ta nová jednotka byla zase alespoň zhruba stejně dlouhá, jako byla původně moje tyč. Takhle se skoro nic nezmění, většina lidí nic nepozná. Rychlost světla mám změřenou tak přesně, že na přístrojích můžu nechat staré stupnice (přístroje měří s větší chybou), v učebnicích se změní jen ta definice, prostě pohoda. Ale když přijdu domů a zjistím, že mou tyč použila manželka k rajčatům, nevadí to. Jednotka už na tyč nemá žádnou vazbu.


Historicky to bylo trochu spletitější, ale princip je snad jasný. Navíc celou dobu předpokládám, že mám nějak slušně definovanou sekundu.

Offline

 

#12 27. 07. 2017 11:09

Carter83
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

Zdravím, měl bych také dotaz ohledně "paradoxu dvojčat".

Podmínky speciální teorii relativity jsem vždy chápal tak, že pohyby jsou relativní, tj. jakmile skončí fáze zrychlování, jsou od sebe situace dvojčete na Zemi a v letící lodi neodlišitelné. Jinak řečeno, že neexistuje žádný způsob, jak dokázat, že loď se pohybuje vůči Zemi, a nikoliv naopak.
Vysvětlení "paradoxu", že situace není symetrická z důvodu počátečního zrychlení kosmické lodě mi sice dává smysl, nicméně mi není ani trochu jasné, proč se nejedná o rozpor s předpoklady STR. Nebo chápu onu "nerozlišitelnost situací dvojčete na Zemi a v lodi" špatně?

Offline

 

#13 27. 07. 2017 13:14

Tomáš Vencl
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

Carter83 napsal(a):

Zdravím, měl bych také dotaz ohledně "paradoxu dvojčat".

Podmínky speciální teorii relativity jsem vždy chápal tak, že pohyby jsou relativní, tj. jakmile skončí fáze zrychlování, jsou od sebe situace dvojčete na Zemi a v letící lodi neodlišitelné. Jinak řečeno, že neexistuje žádný způsob, jak dokázat, že loď se pohybuje vůči Zemi, a nikoliv naopak.
Vysvětlení "paradoxu", že situace není symetrická z důvodu počátečního zrychlení kosmické lodě mi sice dává smysl, nicméně mi není ani trochu jasné, proč se nejedná o rozpor s předpoklady STR. Nebo chápu onu "nerozlišitelnost situací dvojčete na Zemi a v lodi" špatně?

Tak si zkuste třeba představit, že Země se "ve skutečnosti" pohybuje a když z ní startuje kosmická loď, tak "ve skutečnosti" brzdí. Na systém Země+kosmická loď můžete superponovat jakoukoliv rychlost (takže loď může být po startu v libovolném "absolutním" pohybovém stavu) a na výsledek experimentu (vzájemného porovnání časů) to nebude mít žádný vliv.

Offline

 

#14 27. 07. 2017 17:55 — Editoval LukasM (27. 07. 2017 17:57)

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ Carter83:
To co napsal Tomáš Vencl je jistě pravda a odpovídá to na první část otázky, tedy jestli jsou pohyby relativní.

K té druhé části s tou symetrií. On tam právě JE spor s předpoklady STR. Pokud mám vztažnou soustavu spojenou s tou lodí, která někam cestuje a zase se vrátí, určitě to není po celou dobu inerciální soustava (to by se totiž nevrátila). Kosmonaut někdy cestou cítí zrychlení, musí se držet aby neupadl atd. Takže je to neinerciální soustava, pro neinerciální soustavy STR neplatí a kdo ji použije, dostane právě ten paradox. Nesymetrie spočívá v tom, že jeden cítí setrvačné síly a druhý ne. Z pohledu kinematiky to symetrické je. Kdo to chce počítat z pohledu té neinerciální soustavy, potřebuje OTR.

Problém je nicméně řešitelný i v rámci STR, jen je potřeba ho trochu přeformulovat a používat jen inerciální soustavy. Mám hodiny na Zemi a loď, která letí kolem Země. Ta má na palubě také hodiny, které v okamžiku míjení nastavím na stejný čas (takže žádné počáteční zrychlení není). Tato loď letí pryč a někde cestou ji potká jiná loď, která letí stejnou rychlostí zpátky k Zemi. Ta má taky na palubě hodiny a v okamžiku míjení je nastaví na stejný čas, který ukazují hodiny v první lodi. Tahle druhá loď nakonec doletí k Zemi, a když míjí pozemské hodiny, opíše si z nich čas a ten porovná se svými. Soustava spojená se Zemí nebo některou z těch lodí je teď inerciální a STR půjde použít.

Z pohledu Země je to jasné - loď se pohybovala, její hodiny šly pomaleji. Z pohledu lodě číslo 1 (!!!) se v první fázi cesty Země pohybovala, takže to byly hodiny na Zemi, které šly pomaleji. Ale ve druhé části cesty jsme pozorovali hodiny v lodi číslo 2, která se vůči nám také pohybuje, ovšem ještě rychleji než Země - takže vidíme, že hodiny na Zemi jdou vůči našim sice i nadále pomaleji, ale hodiny v lodi číslo 2 ještě mnohem mnohem pomaleji než to. A proto se může stát, že v okamžiku příletu druhé lodi na Zem už budou hodiny na Zemi napřed vůči těm v lodi 2. A oba pozorovatelé by se měli shodnout na tom, jaký je rozdíl časů na hodinách v okamžiku návratu. To už relativní není. Takhle formulovaná úloha v STR řešitelná je. Ale je potřeba při tom počítání přemýšlet a nikde nepoužít žádný "logický" předpoklad, jako třeba že čas od odletu k obratu a od obratu k návratu je stejný. To totiž neplatí pro všechny pozorovatele.

Offline

 

#15 27. 07. 2017 23:15

Carter83
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

Tomáš Vencl: Díky.

LukasM: Už asi začínám chápat. Když loď proletí kolem Země (a dojde k synchronizaci času) a řekněme za den (lodního času) doletí k 10 světelných let vzdálené hvězdě, tak na místě obdrží zprávy ze Země, vyslané den po průletu kolem Země.  Tj. z pohledu pozorovatele na lodi plyne čas na lodi a na Zemi stejně.
Skutečnost, že pozorovatel na Zemi je o deset let starší, zatímco na lodi o pouhý jeden den, je v rámci STR irelevantní (protože se to ani jeden nemá jak dozvědět). Správně?

Čemu ovšem stále nerozumím - když ovšem loď vyšle signál na Zemi, ten dorazí za dalších 10 let. Tj. na Zemi budou po 20 letech vědět, že před 10 lety byl pozorovatel na Zemi starší o 10 let (oproti času "t0" - průletu lodi okolo Země), zatímco na lodi uběhl pouhý jeden den. A to je přece rozpor. Kde dělám v úvahách chybu?

Offline

 

#16 28. 07. 2017 08:04

LukasM
Příspěvky: 2993
Reputace:   175 
 

Re: paradox dvojčiat

↑ Carter83:
Ne. Pokud jsem dobře počítal (možná ne), tak v tebou uváděném případě nastane něco jiného. Řekněme, že na Zemi neustále někdo každou sekundu vysílá přesný čas. Když loď doletí k té hvězdě (a na její palubě tedy uplyne jeden den od startu), dorazí k ní signál vyslaný ze Země asi 12 sekund po startu. Impulzy budou přicházet s jinou frekvencí (říká se tomu rudý posuv). Z pohledu Země je to jasné, loď "utíká" před signálem. Z pohledu lodi to tím být nemůže, protože signál se vůči ní pohybuje rychlostí c. Tímto způsobem "měřený" čas na Zemi bude skutečně pomalejší, než čas pozorovatele v lodi. Kdyby byl vysílač i na lodi, na Zemi by pozorovali naprosto to samé. Filosof namítne, že obě hodiny nemohou jít současně pomaleji, než ty druhé. Ale v tom rozpor není, jak správně píšeš. Pozorovatelé jsou jinde, takže každý může vidět něco jiného. Co se "teď" děje u nějaké vzdálené hvězdy je těžko definovatelný pojem.

Pokud jde o ten druhý odstavec, nerozlišuješ, v jaké soustavě pracuješ. Ta doba, která uplyne mezi vysláním a přijetím signálu není pro oba pozorovatele stejná. Ale ani tak asi nechápu, v čem by měl být rozpor? Že kosmonaut nahlásí jiný věk, než by podle Galileovského pozorovatele na Zemi měl mít? To je jen problém toho pozorovatele, že tomu nerozumí. Podstatné je, jestli se oba pozorovatelé shodnou na fyzikálně měřitelných věcech, např. kam bude ukazovat ručička pozemských hodin, když se k nim vrátí signál z té lodi a podobně. A to se shodnou - ovšem jen tehdy, když budou vše přepočítávat Lorentzovou transformací. A o tom je právě celá STR.

Offline

 

#17 28. 07. 2017 09:45

Tomáš Vencl
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

Carter83 napsal(a):

.......... Kde dělám v úvahách chybu?

LukasM napsal(a):

............. Co se "teď" děje u nějaké vzdálené hvězdy je těžko definovatelný pojem. ............

Hlavní příčina většiny nedorozumění v STR je právě neuvažování relativity současnosti.
I v STR lze dobře zavést pojem současnost. Tato současnost je ovšem pro každý systém (Země, raketa....) jiná. Dobře a názorně je to vidět v Minkowského diagramu, kde sklon linie současnosti závisí na rychlosti dané soustavy.
Prakticky to lze provést synchronizací hodin daného systému. Vyšlu například z místa A světelný signál a současně začnu na hodinách A měřit čas. Signál dorazí k místu B (stejného systému, tj. vůči A stojícím). V místě B mám také hodiny a ty nastavím na nulu a začnu měřit čas. Zároveň z B odešlu signál zpět do A. V A po přijetí odraženého signálu opravím čas na hodinách A na polovinu doposud odpočítaného času. Takto mám oboje hodiny A i B synchronizované na dálku a oboje ukazují současný čas (v prostoročase vytyčují linii současnosti).

Na youtubu je spousta hezkých a názorných videí, například:
https://www.youtube.com/watch?v=C2VMO7pcWhg

Offline

 

#18 28. 07. 2017 12:58

Carter83
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

LukasM a Tomáš Vencl: Díky za vysvětlení.
Takže "paradox" je výhradně v tom, že se člověk nedokáže tak snadno oprostit od představy "absolutního pozorovatele". STR ale nic takového neřeší, "pouze" předpovídá, jakým způsobem se pro pohybující se pozorovatele transformuje prostor a čas. Způsobem, který odpovídá experimentálním měřením. Správně?

Rozumím tedy ale správně tomu, že při použití OTR vychází, že astronaut cestující relativistickou rychlostí se na Zemi vrátí mladší než jeho dvojče?

Offline

 

#19 28. 07. 2017 13:54

Tomáš Vencl
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: paradox dvojčiat

↑ Carter83:
ad 1 asi by se to tak dalo říct. Co se týče OTR, ano, celý aparát OTR je ale v tomto případě zbytečný "kanón na vrabce". Správný výsledek i z pohledu toho v raketě se dá docela snadno odvodit i na základě čistě geometrických úvah z Minkowského diagramu. Sice to už není čistá STR, operuje se tam se zrychlením, ale obecná relativita je ještě o 2 levely dál .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson