Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 08. 2017 21:42 — Editoval Elisa (20. 08. 2017 21:44)

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

výpočet integrálu

Dobrý den, jak se prosím vypočítá tento integrál Wolfram, emath? Děkuji

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-08/58285_%255E16CD19AA37FD0DD8B4B14E9D521EC97A74FF8DE150E151DA63%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) Elisa)

#2 20. 08. 2017 23:16

jarrro
Příspěvky: 4705
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   266 
Web
 

Re: výpočet integrálu

Vždy to môžeš lineárnou substitúciou preškálovať teda stačí skúmať integrál
$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$
Univerzálna je napr. Eulerova substitúcia
$\sqrt{x^2+1}=x+t\nl
1=2tx+t^2\nl
x=\frac{1-t^2}{2t}\nl
\mathrm{d}x=\frac{-4t^2+2\(t^2-1\)}{4t^2}=-\frac{t^2+1}{2t^2}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 20. 08. 2017 23:19

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

↑ jarrro:
Děkuji a tento integrál http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-08/63970_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG bude $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$ ?

Offline

 

#4 20. 08. 2017 23:37

jarrro
Příspěvky: 4705
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   266 
Web
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:áno
lineárna substitúcia $t=\frac{x^{\prime}-x}{r}$
to prevedie na $\int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 21. 08. 2017 07:50

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

↑ jarrro:
A jak se pak prosím dostanu k $\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ ? Děkuji

Offline

 

#6 21. 08. 2017 09:23

Al1
Příspěvky: 6168
Reputace:   502 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:

Zdravím,

$\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ je, jak  píše↑ jarrro:, Eulerova substituce, např. zde

Offline

 

#7 21. 08. 2017 11:55

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

A proč $\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ ? To x se pak neodečte ne?
$\int_{}^{} \frac{-\frac{t^2+1}{2t^2}}{x+t}dt$

Offline

 

#8 21. 08. 2017 13:58 — Editoval vanok (21. 08. 2017 14:12)

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: výpočet integrálu

Ahoj ↑ Elisa:,
Prave to umozni po umocneni sa zbavit toho $x^2$


Inac tento integral $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$ sa povazuje casto za "tabulkovy" a vieme, ze = $\ln ( x +\sqrt {1+x^2})+C$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 21. 08. 2017 13:59

Al1
Příspěvky: 6168
Reputace:   502 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:

kolega vyjádřil $x=\frac{1-t^2}{2t}\nl
$, teď je třeba ještě vyjádřit $\sqrt{x^2+1}=$, tedy
$\sqrt{x^2+1}=\frac{1-t^2}{2t}+t$, aby v integrandu byla jen proměnná t

Offline

 

#10 22. 08. 2017 20:56

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

Tohle je špatně?
$\int_{}^{}\frac{1-t^2}{t(1+t^2)}dt$

Offline

 

#11 22. 08. 2017 21:53

Al1
Příspěvky: 6168
Reputace:   502 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:

$\sqrt{x^2+1}=\frac{1-t^2}{2t}+t=\frac{1+t^2}{2t}$, potom
$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{\frac{1+t^2}{2t}}\cdot \frac{-(t^{2}+1)}{2t^2} \mathrm{d}t}=\int{\frac{-1}{t}\mathrm{d}t}=\ldots $

Offline

 

#12 22. 08. 2017 21:57

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Al1:
Děkuji

Offline

 

#13 23. 08. 2017 08:49

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

A jak se pak prosím ta substituce vrátí?
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-08/70980_%255E27A8F6172A67B4D163C601160E67588BD533E7148BA8742AD5%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Offline

 

#14 23. 08. 2017 10:24 — Editoval vanok (23. 08. 2017 11:07)

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: výpočet integrálu

Ahoj ↑ Elisa:,

Staci v poslednom vyraze v predposlednom riadku poznamenat, ze $ \frac 1 {\sqrt {1+x^2}-x}= \sqrt {1+x^2}+x$, staci?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 23. 08. 2017 14:48

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

Děkuji a $\sqrt {1+x^2}$ se rovná $\sqrt{x'^2-2xx'+x^2+r^2}$ ?

Offline

 

#16 23. 08. 2017 15:42 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:47)

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:
Ked ↑ jarrro: ti toto napisal, iste mal na mysli, ze v citateli mas $dt=\frac 1r dx'$ a v menovateli $r \sqrt {1+t^2}$

Edit. Upresnenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 25. 08. 2017 06:49

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: výpočet integrálu

Takže ten původní integál se upraví na
$1/r\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$?

Offline

 

#18 25. 08. 2017 07:41 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:49)

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: výpočet integrálu

Ahoj  ↑ Elisa:,
To myslis toto
$\frac rr \int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}=\int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 25. 08. 2017 07:44

Al1
Příspěvky: 6168
Reputace:   502 
 

Re: výpočet integrálu

↑ Elisa:

uprav původní integrand (píši jen argument odmocniny ve jmenivateli jmenovatele)
$x'^{2}-2x'x+x^{2}+r^{2}=(x'-x)^{2}+r^{2}=r^{2}\left[\left(\frac{x'-x}{r}\right)^{2}+1\right]$

zaveď substituci
$\frac{x'-x}{r}=t\nl \frac{1}{r}dx'=dt$
a dostaneš integrál (píši neurčitý)
$\int_{}^{}\frac{r}{\sqrt{r^{2}(t^{2}+1)}}\ dt$

po úpravě se zavede Eulerova substituce
$\sqrt{t^{2}+1}=t+u$, která povede po úpravách (viz příspěvěk 9) na $\int_{}^{}-\frac{1}{u}\ du$

A po výpočtu užij resubstituce

Offline

 

#20 25. 08. 2017 08:09

vanok
Příspěvky: 12118
Reputace:   694 
 

Re: výpočet integrálu

Poznamka.
Ak dobre poznas hyperbolicke funkcie, tak ich mozes tiez pouzit na urcenie tvojho integralu.
A iste vies, ze
$\forall x \in \mathbb{R}, \ln ( x +\sqrt {1+x^2})= sh^{-1} x$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson