Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 10. 2017 11:27

linet123
Příspěvky: 58
Reputace:   
 

Rychlost

Ahoj, chci se zeptat, jaktoze plati tento vztah pro rychlost? Rozumim tomu, ze rychlost se rovna derivaci polohoveho vektoru podle casu, ale neni mi jasne, jak zderivovali tu slozenou funkci, kde polohovy vektor je funkci drahy a draha je funkci casu,  mohl by mi prosim nekdo napsat matematicky postup? Dale nevim, proc plati, ze derivace polohoveho vektoru podle drahy je rovna tecnemu vektoru? Dekuji za odpoved.

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2017-10/14028_IMG_20171011_112124.JPG

Offline

 

#2 11. 10. 2017 13:04 — Editoval mracek (11. 10. 2017 13:09)

mracek
Příspěvky: 155
Reputace:   
 

Re: Rychlost

Tecna v bode [x0,y0] se pocita jako prvni derivace funkce.
http://www.aristoteles.cz/matematika/fu … iklady.php

A ten zbytek snad poradi nekdo jiny asi lepe.

Slozena derivace se derivuje na 2x

y = funkce(x)
y' = dy / dx = d(funkce(x)) / dx

y = funkce(x) ... s = funkce(v,t) = v * t
y = funkce(u) ... s = funkce(a,t) = a * t * t
u = funkce(x) ... a = funkce(v,t) = v / t

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

= ds / dv = d(v * t) / dv = t  ...  [1]
= ds / da * da / dv
= d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t
= t ...  [2]

Derivace rychlosti podle v vysla t. Derivace jinou funkci, jejich nasobenim dostanes rychlost, derivovana kazda zvlast dostavas stejny vysledek.

d(v / t)/dv = 1/t * d(v)/dv = 1/t
d(x / 5)/dx = 1/5 * d(x)/dx = 1/5
d(x * x / 5)/dx = 1/5 * d(x * x)/dx = 1/5 * 2 * x ... normani derivovani, co neni x, je konstanta, at uz je tam napsane T nebo cislo 5.

https://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1pis_derivace

Offline

 

#3 11. 10. 2017 17:33

zdenek1
Moderátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11329
Reputace:   845 
Web
 

Re: Rychlost

↑ linet123:
tady se předpokládá, že máš vyjádřené $\vec r=\vec r(s(t))$ a pak prostě derivuješ složenou funkci.
To možná záš jinak zapsané
$[(f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$
ale to je jen jiný zápis
$[(f(g(x))]^\prime=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g}\cdot\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$

Takže žádný jiný matematický postup nedostaneš, protože to je jen jiný způsob zápisu.

Ke druhé otázce:
Musíš vědět, jak je definovaná funkce $s(t)$. A to je
$s(t)=\int\left|\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} t}\right|\, \text dt$ - DEFINICE
z toho ale přímo plyne, že
$\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\left|\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} t}\right|=|\vec v| $

dále musíš vědět, že každý vektor můžeš zapsat $\vec{a}=|a|\cdot \vec{a}_0$, kde $\vec{a}_0$ je jednotkový vektor ve směru vektoru $\vec a$.

Takže tvůj vztah
$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}\cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}\cdot |\vec v|$
a současně
$\vec{v}=|\vec v|\cdot\vec v_0$
z čehož jasně plyne $\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}=\vec v_0$

Takže $\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}$ je jednotkový vektor ve směru rychlosti, a tím pádem je tečný vektor k trajektorii v daném bodě, protože rychlost je derivace a geometrický význam derivace je směrnice tečny v příslušném bodě.

Snad to takto stačí.


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#4 11. 10. 2017 17:56

KennyMcCormick
Příspěvky: 1277
Reputace:   46 
 

Re: Rychlost

↑ mracek:

y = funkce(x) ... s = funkce(v,t) = v * t
y = funkce(u) ... s = funkce(a,t) = a * t * t
u = funkce(x) ... a = funkce(v,t) = v / t

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

= ds / dv = d(v * t) / dv = t  ...  [1]
= ds / da * da / dv
= d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t
= t ...  [2]

Derivace rychlosti podle v vysla t. Derivace jinou funkci, jejich nasobenim dostanes rychlost, derivovana kazda zvlast dostavas stejny vysledek.

d(v / t)/dv = 1/t * d(v)/dv = 1/t
d(x / 5)/dx = 1/5 * d(x)/dx = 1/5
d(x * x / 5)/dx = 1/5 * d(x * x)/dx = 1/5 * 2 * x ... normani derivovani, co neni x, je konstanta, at uz je tam napsane T nebo cislo 5.

Tohle není správně, s výjimkou těchto tří řádků:

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

Důvod je, že nemůžeš vytýkat proměnnou z diferenciálu:
$\d (vt)=t\d v+ v\d t {\color{red}{\neq}} t\d v$


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#5 12. 10. 2017 08:26

mracek
Příspěvky: 155
Reputace:   
 

Re: Rychlost

↑ KennyMcCormick:
Jo, to sem presne cekal, ze se nekdo ozve :)
Mas funkci y = func(x)
Kdyz to derivujes 'podle x', tak, cokoliv, co neni x muzes vytknout pred diferencial, pokud to jde vytknout.

d(v*t)/dt = v * d(t)/dt
d(v*t)/dv = t * d(v)/dv

To, co pises ty, jako nerovnost, jsem vubec nenapsal, vis.

Offline

 

#6 12. 10. 2017 09:10 — Editoval misaH (12. 10. 2017 09:15)

misaH
Příspěvky: 8347
 

Re: Rychlost

↑ mracek:

Ale ako sa to má rozoznať v tých tvojich litániách - čítať sa to poriadne nedá, a to sa KennyMcCormick do veci rozumie.

Čo potom chudáci zadávatelia ktorí netušia...

Offline

 

#7 12. 10. 2017 21:31

KennyMcCormick
Příspěvky: 1277
Reputace:   46 
 

Re: Rychlost

↑ mracek:

To, co pises ty, jako nerovnost, jsem vubec nenapsal, vis.

Používáš ji tady:
↑ mracek:

ds / dv = d(v * t) / dv = t

a tady:

d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t

Jestli chceš, vyber si jeden z těch dvou případů, vysvětlím ti to na něm.

Kdyz to derivujes 'podle x', tak, cokoliv, co neni x muzes vytknout pred diferencial, pokud to jde vytknout.
d(v*t)/dt = v * d(t)/dt
d(v*t)/dv = t * d(v)/dv

To je ta samá chyba zopakovaná podruhé.
$\frac{\d (vt)}{\d t}=\frac{v\d t+t\d v}{\d t}{\color{red}\neq}\frac{v\d t}{\d t}$


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#8 12. 10. 2017 21:48

misaH
Příspěvky: 8347
 

Re: Rychlost

↑ KennyMcCormick:

:-)

Ale asi škoda času...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson