Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 11. 2017 07:31 — Editoval stuart clark (15. 11. 2017 07:35)

stuart clark
Příspěvky: 755
Reputace:   
 

Binomial summation

$\displaystyle \sum\sum_{0 \leq i < j < k  \leq n}\sum 2017$

Offline

 

#2 15. 11. 2017 09:40 — Editoval kerajs (15. 11. 2017 09:49)

kerajs
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Binomial summation

$n>1$

$...=2017 \cdot  \sum_{i=0}^{j-1}( \sum_{j=i+1}^{k-1} ( \sum_{k=j+1}^{n} 1)) =2017 \cdot  \sum_{l=1}^{n-1}T_l =...$
$T_l$ - trojúhelníkové číslo (triangular number)

a)
$n=2p+1$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p)^2)=2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2)=$
$=2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}= \frac{2017(n-1)(n+1)(n+3)}{12}$

b)
$n=2p$
.....
.....

Offline

 

#3 15. 11. 2017 19:11 Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Objevena chyba - 4. možnost je 023

#4 15. 11. 2017 19:18

check_drummer
Příspěvky: 2401
Reputace:   65 
 

Re: Binomial summation

↑ stuart clark:
Hi, is it $2017.{n+1 \choose 3}$? because i,j,k is number of 3 members sets in {0,..,n}


Achilleovo tvrzení: Ocitl jsem se v patové situaci.

Offline

 

#5 15. 11. 2017 22:01

kerajs
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: Binomial summation

kerajs napsal(a):

a)
$n=2p+1$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p)^2)=2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2)=$
$=2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}= \frac{2017(n-1)(n+1)(n+3)}{12}$

$2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2) \not = 2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}$
Sorry

$2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2) = 2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(2p+1)}{6}=$
$=2017\cdot 4 \frac{\frac{n-1}{2}(\frac{n-1}{2}+1)(2\frac{n-1}{2}+1)}{6}=$
$=2017\cdot 4 \frac{\frac{n-1}{2}(\frac{n+1}{2})(n)}{6}=$
$=2017\cdot  \frac{(n-1)(n+1)(n)}{6}=2017 {n+1 \choose 3} $

b)
$n=2p$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p-2)^2)+2017\cdot T_{2p-1}=$
$=2017\cdot 4 \frac{(p-1)(p-1+1)(2(p-1)+1)}{6}+2017\frac{(2p-1)2p}{2}=$
$=2017\cdot 4 \frac{(\frac{n}{2}-1)(\frac{n}{2})(n-1)}{6}+2017\frac{(n-1)n}{2}=$
$=2017{n+1 \choose 3}$

Offline

 

#6 16. 11. 2017 09:13

stuart clark
Příspěvky: 755
Reputace:   
 

Re: Binomial summation

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson