Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 11. 2017 19:28 — Editoval Gauß69 (15. 11. 2017 19:39)

Gauß69
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

Caute,

potrebujem vypocitat $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x}    \ dx$ tym ze pozorujem funkciu $F(t): (0,\infty ) \overrightarrow{}\mathbb{R},   F(t)=\int_{[0,\infty )}^{ }\frac{sin(x)\cdot e^{-tx}}{x} \ d\lambda (x)$ .

Je mi jasne ze  $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x}    dx=\int_{-\infty }^{\infty } \sum_{n=0}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}dx=[\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}]_{-\infty }^{\infty }=\pi $ , len neviem prist na to, ako to vypocitat pomocou funkcie F. Jedine na co som prisiel, ze funkcia v tom Lebesgueho integraly je ohranicena pre vsetky x∈(0,∞) a pre vsetky t∈(0,∞), potom sa tento Lebesgueov integral rovna Riemanovmu, tak zacnem upravovat sin(x)/x napisem pomocou radu presne ako som pisal v tom integraly vyssie a e^(-tx) napisem pomocou exponencialneho radu, potom dostanem multiplikaciu dvoch absolutne konvergentnych radov, cize ich mozem napisat ako Cauchyho produkt a lahko ich z integrovat kde dostanem nie moc peknu rovnicu pre F(t), cize to nikam nevedie.

Druhe co ma napadlo, ze najprv vypocitam Lebesgueho integral, tu pozorujem funkciu g:=sin(x)*e^(-tx)/x, kde vidim ze pre t --> ∞ aproximuje funkcia g pozdlz x-ovej osi pre x∈[0,∞) (tym myslim g(x)-->0 pre vsetky x>=0), cize potom g mozem aproximovat pomocou jednoduchej funkcie v tvare $g\sim \sum_{n=1}^{N}a_{n}\cdot \chi _{A_{n}}$ , kde pre t --> ∞ ide an-->0 pre vsetky n∈{1,...,N}, cize potom$\lim_{t\to\infty }\int_{[0,\infty )}^{ }\frac{sin(x)\cdot e^{-tx}}{x} \ d\lambda (x)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\cdot \lambda ([0,\infty )\cap A_{n})=0 , \ lebo \ a_{n}\overrightarrow{}0 \ \forall n\in {1,...,N}$ len tu nevidim ziaden suvis medzi funkciu F a Riemanovym integralom zo zadania. Vedelem by mi niekto prosim Vas poradit?

Offline

 

#2 15. 11. 2017 20:49

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5012
Reputace:   188 
Web
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

Nejsem si jistej, jestli chápu tvoje myšlenky, ale pokud jde o souvislost mezi F a integrálem, tak já ji vidím v tom, že $\frac{sin(x)}{x}=\lim_{t\to0}\frac{sin(x)e^{-tx}}{x}$.

Offline

 

#3 15. 11. 2017 21:19

Gauß69
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ Stýv: vdaka, v tom mas samozrejme pravdu.

Ale uz som na to viacmenej prisiel, oboje postupy co som skusal boli na nic.
Treba vyuzit jednoduchu podobnust pre 1/x a to $\frac{1}{x}=\int_{0}^{\infty }e^{-xt}dt$ cize potom dostanem aj po Fubiniho vete $\int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt}dx dt$ s cim sa da uz lepsie pracovat a nakoniec dostanem vztah aj vdaka pouzitiu toho Lebesgueovho integralu $\int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+x^{2}} dx$ , kde je hned zname ze arctan(x) je primitivna funkcia od funkcie 1/(1+x^2), cize $\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+x^{2}} dx=[arctan(x)]^{\infty }_{0}=\frac{\pi }{2}$

Offline

 

#4 16. 11. 2017 08:30 — Editoval jarrro (16. 11. 2017 08:35)

jarrro
Příspěvky: 4764
Škola: UMB BB Matematická analýza
Pozice: doktorand
Reputace:   268 
Web
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ Gauß69:alebo ešte je možnosť uvažovať deriváciu funkcie
$F^{\prime}{\(t\)}=\int\limits_{0}^{\infty}{\(-\sin{\(x\)}\mathrm{e}^{-tx}\)\mathrm{d}x}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 17. 11. 2017 14:48

Gauß69
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ jarrro: dakujem, mas uplnu pravdu, zacal by som asi dokazom toho co si ty napisal cize to uz cele rovno zhrniem $Nech \ (X,\Lambda , \mu ) \ priestor \ s \ mierou, \ I\subset \mathbb{R}, \ f:I\times X\overrightarrow{}\mathbb{R}, \ N\subset X \ s \ vlastnostou \ \mu (N)=0, \ F:X\overrightarrow{}\mathbb{R}, \ F(x)=f(t,x) \ t \in I, \\ F \ integrovatelna \ funkcia, \forall t\in I \ \forall x \in X-N \ \exists \frac{\partial }{\partial t }f(t,x), \ \forall t\in I \ \forall x \in X-N \ \exists g: g(x)\ge |\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)| , \ F(t)=\int_{X}^{}f(t,x)d\mu (x) \Rightarrow  \\ \frac{\partial }{\partial t } F(t)=\lim_{n\to\infty }\frac{\int_{X}^{}f(t+\frac{1}{n},x)d\mu (x)-\int_{X}^{}f(t,x)d\mu (x)}{t+\frac{1}{n}-t}=\lim_{n\to \infty }\int_{X}^{}\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x), \ tu \ mozeme \ pouzit \ vetu \ o \ dominujucej \\ konvergencii, \ =\int_{X}^{}\lim_{n\to \infty }\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x)=\int_{N}^{}\lim_{n\to \infty }\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x) + \int_{X-N}^{}\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)d\mu (x), \\ tu \ vieme \ ze \ pre \ \mu (N)=0 \ plati \ \int_{N}^{}fd\mu =0 \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}F(t)=\int_{X-N}^{}\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)d\mu (x)$

tym by sme viac menej dokazali vetu, z ktorej vyplyva tvoje tvrdenie jarrro, teraz uz len pomocou toho vyriesit nejako ulohu, cize co ma teraz napada, ze pozorujeme pre funkciu F zo zadania $|\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)|=|e^{-tx}sin(x)|<g(x):=1 \ \forall x\in [0,\infty ), \ \forall t\in (0,\infty ) \ vsetky \ predpoklady \ z \ hora \ splnene \ \Rightarrow \ \frac{\partial }{\partial t}F(t)=-\int_{[0,\infty )}^{}sin(x)e^{-tx}d\lambda (x) \\ =-\int_{0}^{\infty}sin(x)e^{-tx}dx$
co je naozaj pekny integral len sa mi nechcu pisat vsetky kroky, cize pomocou parcialnej integracie a naslednych ekvivalentnych upravach oboch stran dostaneme $\frac{\partial }{\partial t}F(t)=[\frac{1}{1+t^{2}}\cdot e^{-tx}(cos(x)+t\cdot sin(x) ]^{\infty }_{0}=-\frac{1}{1+t^{2}}$
cize uz sa konecne dostavame pomaly do finale
$\int_{0}^{\infty } \frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }sin(x)\int_{0}^{\infty }e^{-xt} dtdx=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt} dtdx, \ veta \ od \ Fubiniho, \ =\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt} dxdt=\int_{0}^{\infty }-\frac{\partial }{\partial t}F(t)dt= \\ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+t^{2}}dt=[arctan(t)]_{0}^{\infty }=\frac{\pi }{2}$
vieme ze sin je parna funkcia z toho vieme usudit ze aj sin(x)/x je parna funkcia a mozme vyuzit vlastnost integralu z parnych funkcii tak ze $\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=2\cdot \int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi $

Offline

 

#6 18. 11. 2017 14:49 — Editoval Rumburak (18. 11. 2017 14:53)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8213
Reputace:   478 
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ Gauß69:
Ahoj.

nechci se plést do již provedených výpočtů, pouze připojím teoretickou poznámku.

"Cílový" integrál

(1)                  $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}  \d x$
 
nemůže být integrálem Riemannovým, protože interval, přes který se integrace provádí,
není omezený. 

Pokud integrovanou funkci spojitě dodefinujeme v nule, pak lze ukázat, že (1) může být
integrálem Newtonovým. Tento integrál (1) však je, pokud mne neklame paměť,  konvergentní
pouze neabsolutně, proto nemůže jít ani o integrál Lebesgueův.

Offline

 

#7 18. 11. 2017 16:19

Gauß69
Zelenáč
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ Rumburak: si si isty, ze interval musi byt obmedzeny? Pretoze existuju nevlastne Riemannove integraly, cize interval je neohraniceny. V definicii som nasiel len, ze funkcia musi byt na intervale ohranicena.

Offline

 

#8 18. 11. 2017 21:20

vanok
Příspěvky: 12392
Reputace:   706 
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 20. 11. 2017 10:10 — Editoval Rumburak (20. 11. 2017 10:43)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8213
Reputace:   478 
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

↑ Gauß69:
Dejme tomu. Pod samotným pojmem "Riemannův integrál" je však obvykle míněn R. integrál
v jeho  "základní" podobě, tj. z omezené funkce přes omezený interval. Ale připouštím,
že terminologie může kolísat. Já jsem byl odchován v terminologii zavedené prof. Jarníkem,
ale je pravděpodobné, že Tví učitelé vycházejí z jiných zdrojů. Pro studenta je důležité řídit se
terminologií zavedenou na přednášce či v doporučené literatuře.

Offline

 

#10 27. 11. 2017 13:28

vanok
Příspěvky: 12392
Reputace:   706 
 

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson