Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 12. 2017 15:24

Kushikiro
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

Zdravím,

abych vás uvedl do problému, zpracovávám projekt na téma dopravního proudu v matematickém modelování. Správně jsem již odvodil rovnici pro dopravní proud ze zákona zachování počtu vozidel a nyní bych rád vypracoval analytické řešení pro konstantní rychlost. Zkoušel jsem nějakou dobu na řešení přijít sám, ale chybí mi potřebná zdatnost, nebo přehlížím něco podstatného. Mohl byste mi s tím někdo pomoci i s případným vysvětlením?

$\varrho_t + (u\varrho)_x =0$

v tomto případě se tedy jedná o případ, kdy je u konstanta, takže se dá celý problém přepsat.

$\varrho_t + u(\varrho)_x =0$

x,t v indexu značí parciální derivaci dle x nebo t, $\varrho$ značí hustotu provozu závislou na x a t. Rychlost u je taktéž závislá na x a t.

Závěrečná interpretace by měla vypadat jako nějaká funkce, která se pouze posouvá, nicméně se k tomu nemohu nějak dopracovat.

Snad jsem problém popsal dostatečně. Za případné nesrovnalosti se omlouvám, ale v daném předmětu matematického modelování mi chybí patřičné základy, pro tento předmět podstatné.

Offline

 

#2 13. 12. 2017 21:51

pietro
Příspěvky: 4293
Reputace:   182 
 

Re: Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

↑ Kushikiro: ahoj, skús si tento výsledok bližšie aplikovať... Odkaz

Offline

 

#3 01. 02. 2018 22:29 — Editoval laszky (12. 03. 2018 16:22)

laszky
Příspěvky: 1047
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

Reseni hledame ve tvaru
$\varrho(t,x)= g(at+bx),$
kde g je dostatecne hladka funkce. Potom
$\Rightarrow \quad \varrho_t+u\varrho_x = (a+ub)g'(at+bx)=0,$
takze napriklad
$\Rightarrow \quad a=u, \, b=-1,$
a proto
$\Rightarrow \quad \varrho(t,x)= g(ut-x).$
Konkretni tvar funkce g urcime z okrajove nebo pocatecni  podminky
$\varrho(0,x)=h(x) \quad \Rightarrow \quad g(y)=\varrho(0,-y)=h(-y) \quad \Rightarrow \quad \varrho(t,x)= h(x-ut)$
$\varrho(t,0)=d(t) \quad\; \Rightarrow \!\!\quad  g(y)=\varrho(y/u,0)=d(y/u) \!\!\quad \Rightarrow \!\quad  \varrho(t,x)=d(t-x/u)$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson