Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 12. 2017 23:24

check_drummer
Příspěvky: 2601
Reputace:   71 
 

Mohutnost modelů úplné teorie

Ahoj,
následující není úloha, ale spíše úvaha. Děkuji předem za polemiku s ní.

Nechť je dána úplná teorie T (tj. každá uzavřená formule nebo její negace je dokazatelná) s predikátem rovnosti.
Označme jako S(n) tvrzení "existuje n různých prvků". Formálně lze např. S(3) vyjádřit jako
$(\exists x,y,z) x \neq y \wedge x \neq z \wedge y \neq z$ (a pro každé n lze výrok S(n) podobně formálně zapsat).
Potom pokud by existovaly pro m<n modely M(m) a M(n) teorie T o počtu prvků m a n, tak by v M(m) nemohlo platit S(n), které platí v M(n) - a tedy by S(n) ani jeho negace neplatilo současně v obou modelech M(m) a M(n) a tedy by S(n) ani jeho negace nemohla být dokazatelná, což je spor s úplností T. Tedy pokud má T nějaké konečné modely, tak musí mít všechny stejnou mohutnost.

A pokud bychom dovedli nějak formalizovat výroky P(K) tvaru "Existuje množina stejné mohutnosti jako kardinál K" (pro libovolný kardinál K), tak bychom stejnou úvahou mohli dospět k tomu, že všechny modely teorie T musí mít stejnou mohutnost. Případně, že všechny modely o menší mohutnosti než jistý kardinál L (pokud bychom dovedli P(K) formalizovat jen pro K o menší mohutnosti než L) mají stejnou mohutnost.

Je ve výše uvedených úvahách nějaká chyba? Pokud ne, tak je to docela zajímavé zjištění.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#2 23. 01. 2018 18:42 — Editoval Wotton (23. 01. 2018 21:21)

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 805
Reputace:   24 
 

Re: Mohutnost modelů úplné teorie

Ahoj,
tvoje úvaha pro konečné modely je víceméně správná a dá do použít i pro teorie neúplné (samozřejmě jen některé případy).

Pro nekonečné modely ale nic podobného neplatí. Existuje věta (tuším že to plyne z věty o kompaktnosti), která tvrdí že pokud má teorie nekonečný model, tak má model libovolné nekonečné kardinality (zdola omezeno mohutností jazyka teorie).

EDIT: ta zmiňovaná věta je: Löwenheimova-Skolemova


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson