Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 01. 2018 13:29

veadet
Příspěvky: 334
Pozice: student
Reputace:   
 

bodova konvergencia

Ahojte, mam problem s pochopenim co vlasne znamena v definicii bodovej konvergencie toto: $\lim_{n\to\infty } f_n(a)=f(a)$ vysvetli niekto? Diki.

Offline

 

#2 11. 01. 2018 13:38 — Editoval jarrro (11. 01. 2018 13:44)

jarrro
Příspěvky: 4891
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   276 
Web
 

Re: bodova konvergencia

Že číselná postupnosť b definovaná predpisom
$b_n=f_n{\(a\)}$ má limitu $f{\(a\)}$ teda pre každé okolie čísla $f{\(a\)}$ existuje index $n_0$ (môže závisieť od čísla a) taký, že $f_n{\(a\)}$ patrí do toho okolia pre n viac ako n_0


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 11. 01. 2018 13:48 — Editoval veadet (11. 01. 2018 13:54)

veadet
Příspěvky: 334
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: bodova konvergencia

da sa to nejako nakreslit na grafe? lebo stale mi to akosi nedava vyznam
napr. postupnost
$\{1/2^n\}_{n=1}^\infty $ pre nu by malo platit ze $\lim_{n\to\infty } 1/2^n=0$
teda ta definicia vlasne hovori ze ak si zvolim napriklad $n=2$ tak viem najst este vacsie $n$ takze ze ten vysledok bude blizssi tej limite ?

Offline

 

#4 11. 01. 2018 14:07 — Editoval veadet (11. 01. 2018 14:13)

veadet
Příspěvky: 334
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: bodova konvergencia

alebo ked mam postupnost funkcii $\{\frac{1}{x^n}\}_{n=1}^\infty $ tak na intervale $(0,\infty )$ bude predsa platit, ze $\lim_{n\to\infty } \frac{1}{x^n}=0$ pre $\forall x\in (0,\infty )$ takze v tomto pripade $f(a)=0$ a $f_n(a)=\frac{1}{x^n}$ a plati: $\lim_{n\to\infty } f_n(a)=f(a)$.
Takze ked si teraz zvolim $a=5$ dostanem funkciu $\frac{1}{5^n}$ ked teraz zvolim napriklad $n_0=3$ tak dostanem prve tri cleny postupnosti: $\frac{1}{5},\frac{1}{25} ,\frac{1}{125}$ no a teraz viem zvolit take $n>n_0$ ze dalsi clen sa budu viac priblizovat ku $f(a)=0$ teda napriklad $n=4$ tento clen bude uz $\frac{1}{625}$
Chapem to spravne alebo som mimo?

Offline

 

#5 11. 01. 2018 16:25

jarrro
Příspěvky: 4891
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   276 
Web
 

Re: bodova konvergencia

Neviem či si mimo, ale nepíšeš pravdu o limitách.
$n_0$ máš hľadať ku danému okoliu limity , ktoré je možno bez ujmy na všeobecnosti uvažovať ako otvorený  interval okolo limity polomerom $\varepsilon$ teda musí závisieť na danom okolí (na jeho polomere)nie na indexe.
Bodová limita funkcionálnej postupnosti
$\{\frac{1}{x^n}\}_{n=1}^\infty $
je fcia $f=\begin{cases}0  & \text{ pre }x\in\(-\infty, -1\)\cup\( 1,\infty\)\\
1 & \text{ pre } x=1\\
\text{ undef } & \text{ inak }\end{cases}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#6 11. 01. 2018 17:33

veadet
Příspěvky: 334
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: bodova konvergencia

aha no tomu zapisu tej funkcie chapem ... ale mohli by ste mi to ukazat aj s konkretnym $n_0$ a $n$ ? napriklad na tom prvom intervale je sa to priblizuje k nule.

Offline

 

#7 11. 01. 2018 18:20 — Editoval misaH (11. 01. 2018 18:23)

misaH
Příspěvky: 9822
 

Re: bodova konvergencia

↑ veadet:

Najprv si zvolíš okolie a nájdeš n nula, od ktorého už funkčné hodnoty padnú do toho okolia.

Veľmi to súvisí s pojmom limita spojitej funkcie, teda  ak sa hodnoty funkcie k niečomu naozaj blížia, tak nech si zvolíš hocijaké (ľubovoľne malé) okolie tej limity, tak vždy nájdeš také x, že ak zistíš hodnotu v tomto x, tak tá hodnota do tebou zvoleného okolia padne.

V tvojom príklade:

Nakresli si graf, trebárs toho tvojho zadania. Hodnoty budú klesať k 0 (zopár si ich vyrátaj). Graf budú body krivky klesajúce k 0. Okolie 0 znamená pás ohraničený rovnobežkami s x vo vzdialenosti epsilon (môže to byť akékoľvek číslo, teda tie rovnobežky sú ľubovoľne blízko k hodnote 0 - o zvolené epsilon).

Ak zvolíš okolie veľké, tak prvé n môže byť malé. Napríklad ak epsilon je 0,5 tak už od n=1 všetky ďalšie hodnoty padnú do tebou zvoleného okolia.
Ak zvolíš epsilon 1/32 (čiže pás užší, bližšie k uvažovanej limite 0) tak prvé n od ktorého hodnota padne do pásu je n=6, lebo ak n=5 tak hodnota je presne na hranici okolia.
Ak zvolíš okolie ešte užšie, tak ak limita je 0, tak vždy dokážeš nájsť také n, že hodnoty padnú do zvoleného pásu.

Pojem limita je o približovaní sa funkčných hodnôt k niečomu a táto definícia pomocou okolí tento pojem popisuje.

Ak sa teda nemýlim... :-)

Offline

 

#8 13. 01. 2018 09:22

jarrro
Příspěvky: 4891
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   276 
Web
 

Re: bodova konvergencia

Nech je $x\in\(-\infty, -1\)\cup\(1,\infty\)$
Nech $\varepsilon>0$ hľadáme k nemu $n_0$ také, aby platila implikácia $\left|\frac{1}{x^n}-0\right|\geq \varepsilon\Rightarrow n\leq n_0$(obmena implikácie
$n>n_0\Rightarrow\left|\frac{1}{x^n}-0\right|<\varepsilon$
$\frac{1}{\left|x\right|^n}\geq\varepsilon\nl
\left|x\right|^n\leq\frac{1}{\varepsilon}\nl
n\ln{\(\left|x\right|\)}\leq\ln{\(\frac{1}{\varepsilon}\)}\stackrel{x\in\(-\infty, -1\)\cup\(1,\infty\)}{\Rightarrow}n\leq\frac{\ln{\(\frac{1}{\varepsilon}\)}}{\ln{\(\left|x\right|\)}}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 13. 01. 2018 11:33 — Editoval veadet (13. 01. 2018 11:45) Příspěvek uživatele veadet byl skryt uživatelem veadet. Důvod: blby prispevok

#10 13. 01. 2018 11:52 Příspěvek uživatele veadet byl skryt uživatelem veadet. Důvod: dalsa blbost

#11 13. 01. 2018 11:57 — Editoval veadet (13. 01. 2018 11:59)

veadet
Příspěvky: 334
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: bodova konvergencia

posuj misah a to co si prave nakreslila - ako pochopil som vsetko, aj graf som si nakreslil ... len by som sa este chcel opytat aky to ma suvis s tou definiciou v mojom prvom prispevku
$\lim_{n\to\infty }f_n(a)=f(a)$ ved predsa tam nie su ziadne epsilony pouzite ani $n$ alebo $n_0$
akosi mi unika spojitost s tym, lebo tu limitu co si mi vysvetloval som pochopil ale aku to ma suvislost s bodovou konvergenciou?
co je v tomto pripade $\lim_{n\to\infty }f_n(a)$ a co je $f(a)$ ? toto by som potreboval vediet

Offline

 

#12 13. 01. 2018 12:01 — Editoval jarrro (13. 01. 2018 12:16)

jarrro
Příspěvky: 4891
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   276 
Web
 

Re: bodova konvergencia

Má tam byť všeobecný kvantifikátor teda:
Funkcia $f$ je bodová limita funkcionálnej postupnosti $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ práve vtedy keď
$\(\forall a\in \bigcap_{n=1}^{\infty}{D{\(f_n\)}}\)\(\lim_{n\to\infty}{f_n{\(a\)}}=f{\(a\)}\)$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson